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专题4.1 导数的概念,运算及导数的几何意义 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)
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专题4.1 导数的概念,运算及导数的几何意义 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)

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知识点1.导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即.
2.函数f(x)的导函数
称函数为f(x)的导函数.
知识点2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则
(1) [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2) [f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)(g(x)≠0).
(4) 复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
知识点3.函数在处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
【考点分类剖析】
考点一 导数的计算
【典例1】(2021·河北石家庄市·高三二模)已知函数,其中,,,,为的导函数.若存在使得成立,则的最大值为__________.
【典例2】(2021·内蒙古包头市·高三二模(文))设函数,若,则______.
【规律方法】
1.求函数导数的一般原则如下:
(1)遇到连乘积的形式,先展开化为多项式形式,再求导;
(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;
(3)遇到复杂分式,先将分式化简,再求导.
2.复合函数的求导方法
求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量;
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量;
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;
④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程.
【变式探究】
1. (2021·四川攀枝花市·高三一模(文))已知函数,则( )
A.B.C.6D.14
2.(2021·江苏常州市·高三一模)已知函数的导函数为,则__________;若,则__________.
【总结提升】
(1)若函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.
(2)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时可进行换元.
高频考点二 求曲线的切线方程
【典例3】(2019·全国高考真题(文))曲线y=2sinx+csx在点(π,–1)处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
【典例4】(2021·河北高三其他模拟)已知是定义在上的奇函数,当时,,则曲线在点处的切线方程为___________.
【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题:
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.
曲线切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤:
①求出函数f(x)的导数f′(x);
②求切线的斜率f′(x0);
③写出切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化简.
(2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程.
【变式探究】
1.(2019·天津高考真题(文)) 曲线在点处的切线方程为__________.
2. (2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟(理))曲线在点处的切线方程为__________.
【易错提醒】
导数运算及切线的理解应注意的问题:
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.
高频考点三:求切点坐标
【典例5】(2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过,,三点的圆的圆心为,若直线与抛物线相切于点,则点的坐标是___________.
【典例6】(2019·江苏高考真题)在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____.
【方法总结】
已知斜率求切点:已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
【变式探究】
1.(2021·重庆高三其他模拟)曲线在点处的切线恰好经过坐标原点,则___________.
2.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
高频考点四:求参数的值(范围)
【典例7】(2021·全国高三其他模拟(理))与曲线和都相切的直线与直线垂直,则b的值为( )
A.B.C.D.
【典例8】(2020届山东省青岛市三模)【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大于零,则实数可能的取值( )
A.B.3C.D.
【规律方法】
根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.
【变式探究】
1. (2018年全国卷Ⅲ理)曲线y=ax+1ex在点0 , 1处的切线的斜率为-2,则a=________.
2.(2020·山东省泰安市模拟)若曲线在点处的切线与直线平行,则_________.
考点五:切线的斜率与倾斜角
【典例9】(2021·山东济南市·高三其他模拟)函数的图像的切线斜率可能为( )
A.B.C.D.
【典例10】(2021·山东烟台市·高三其他模拟)已知曲线在处的切线的倾斜角为,则的值为___________.
【变式探究】
1.(2021·福建省福州第一中学高三其他模拟)过引抛物线的切线,切点分别为A,.若的斜率等于2,则( )
A.B.C.1D.2
2.(2021·合肥市第八中学高三其他模拟(文))曲线的一条切线过点,则该切线的斜率为_______.
考点六:导数的概念
【典例11】(2021·河南新乡市·高三三模(文))已知函数,若,则( )
A.36B.12C.4D.2
【规律方法】
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法:
①求函数的增量;
②求平均变化率;
③得导数,简记作:一差,二比,三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数
【变式探究】
若,则( )
A. B. C. D.
新课程考试要求
1.了解导数的概念与实际背景,理解导数的几何意义.
2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数(限于形如)的导数).
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象(例11),逻辑推理(例1),数学建模,直观想象(例5),数学运算(多例),数据分析等.
考向预测
(1)导数的运算将依然以工具的形式考查;
(2)单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查,主要通过考查导数的几何意义,导数的应用来体现.
(3)对导数的几何意义的考查,主要有选择题,填空题,也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有:
= 1 \* GB3 ①求切线斜率,倾斜角,切线方程.
= 2 \* GB3 ②确定切点坐标问题.
= 3 \* GB3 ③已知切线问题求参数.
= 4 \* GB3 ④切线的综合应用.
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sin x
f′(x)=csx
f(x)=cs x
f′(x)=-sinx
f(x)=ax
f′(x)=axlna
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=lgax
f′(x)=eq \f(1,xln a)
f(x)=ln x
f′(x)=eq \f(1,x)
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