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专题4.3 应用导数研究函数的极值,最值 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)
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专题4.3 应用导数研究函数的极值,最值 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)

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1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
【考点分类剖析】
考点一 :函数极值的辨析
【典例1】(2021·河北沧州市·高三三模)已知函数,则( )
A.的单调递减区间为B.的极小值点为1
C.的极大值为D.的最小值为
【答案】C
【解析】
先对函数求导,令,再利用导数判断其单调性,而,从而可求出的单调区间和极值
【详解】
.令,则,
所以在上单调递减.因为,
所以当时,;当时,.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,
故的极大值点为1,的极大值为
故选:C
【典例2】(2020·江苏高二期末)已知函数的导函数的图象如图所示,下列结论中正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.是函数的极小值点
C.函数在区间上单调递增
D.函数在处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
由图象得时,,时,,
故在单调递减,在单调递增,
故是函数的极小值点,
故选:BC.
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题,特别是有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f ′(x)的图象,应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.
2.f(x)在x=x0处有极值时,一定有f ′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f ′(x0)=0,则f(x)未必在x=x0处取得极值,只有确认x1【变式探究】
1. (2020·山东高二期中)【多选题】已知函数,则( )
A.时,的图象位于轴下方
B.有且仅有一个极值点
C.有且仅有两个极值点
D.在区间上有最大值
【答案】AB
【解析】
由题,函数 满足 ,故函数的定义域为
由 当 时 ,
所以,则的图象都在轴的下方,所以A正确;
又,在令 则 ,故
函数单调递增,则函数 只有一个根 使得
当时 函数单调递減 ,当时,函数单调递增,
所以函数只有极值点且为极小值点,所以B正确,C不正确;
又 所以函数在先减后增,没有最大值,所以D不正确.
故选:AB.
2.(重庆高考真题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【答案】D
【解析】由函数的图象可知,f ′(-2)=0,f ′(1)=0,f ′(2)=0,并且当x<-2时,f ′(x)>0,当-2<x<1,f ′(x)<0,函数f(x)有极大值f(-2).
又当1<x<2时,f ′(x)<0,当x>2时,f ′(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).
故选D.
【易错提醒】
(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
考点二:已知函数求极值点的个数
【典例3】(2021·山东日照市·高三月考)已知函数.
(1)若讨论的单调性;
(2)当时,讨论函数的极值点个数.
【答案】(1)增区间为,减区间为;(2)答案见解析.
【解析】
(1)求得,令,可得,求得函数的单调性,结合,结合的符号,即可求解;
(2)①当时,由(1)得到只有一个极值点;②当时,由,求得,得出函数的单调性和最值,再结合和分类讨论,结合单调性与最值,即可求解.
【详解】
(1)由题意,函数定义域为,
可得,
令,可得,
因为所以,所以在上为增函数,
又因为,所以,,,,
所以的增区间为,的减区间为.
(2)①当时,由(1)可知在上有唯一极小值,
所以极值点个数为1个.
②当时,则,得,
当时,,时,,
所以,
令,.
因为,所以,即在上单调递减,
所以,
所以(ⅰ)当时,,在上恒成立,即
在上恒成立,所以无极值点.
(ⅱ)当时,,,即
易知,
所以存在唯一使得,且当时,,当时,,则在处取得极大值;
又,所以当时,,当时,,
即在处取得极小值;故此时极值点个数为2,
综上所述:
当时,的极值点个数为0;
当时,的极值点个数为2;
当时,的极值点个数为1.
【易错提醒】
极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
【变式探究】
(2019·河南高考模拟(文))已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值点个数.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)依题意,,故,
又,故所求切线方程为.
(2)依题意.
令,则,且当时,当时,,
所以函数在单调递减,在单调递增,,
当时,恒成立,.
函数在区间单调递增,无极值点;
当时,,
故存在和,使得,
当时,,
当时,,
当时,,所以函数在单调递减,在和单调递增,所以为函数的极大值点,为函数的极小值点.
综上所述,当时,无极值点;当时,有个极值点.
考点三:已知函数求极值(点)
【典例4】(2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟(文))函数的极值点是___________.
【答案】1
【解析】
利用导数判断单调性,即可求出极值点.
【详解】
的定义域为,,
所以令,解得,令,解得,
所以为的极值点.
故答案为:1.
【典例5】(2020·河北高三其他模拟(文))已知函数,.
(1)当时,证明:;
(2)当时,函数是否存在极大值,若存在,求出极大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,极大值为0.
【解析】
(1)把代入,结合导数可求的最大值,然后结合二次函数的性质可求的最小值,进而可证;
(2)先对求导,然后确定导数符号,判断函数的单调性,然后结合函数的性质及极值存在条件可求.
【详解】
(1)当时,,,

易得,当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
故,
因为,
所以,
(2)由题意得,
,(),,

令,则,
当时,,在上单调递减,且,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故当时,取得极大值,
当时,令得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,且,
所以,
又,所以存在使得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的极大值,
综上,当时,的极大值为0.
【规律方法】
(1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
【变式探究】
1. (2021·四川凉山彝族自治州·高三三模(文))若是函数的极值点,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
求导,根据是函数的极值点,由求解.
【详解】
因为函数,
所以,
因为是函数的极值点,
所以,即,
两边取以e为底的对数得: ,
即,
令 ,即 ,
因为,
所以 在上递增,
所以,即,
故选:C
2.(2020·山东潍坊中学高二月考)已知是的极小值点,那么函数的极大值为______.
【答案】
【解析】
函数的导数,
由题意得,,即,解得.
,,
,得或,即函数在和上单调递增;
,得,函数在上单调递减;
故在处取极小值,处取极大值,且为.

故答案为:.
考点四:已知极值(点),求参数的值或取值范围
【典例6】(2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟(文))已知函数在处有极值10,则( )
A.B.0C.或0D.或6
【答案】A
【解析】
根据数在处有极小值10,可得,求出参数的值,然后再验证,得到答案.
【详解】
由函数有.
函数在处有极小值10.
所以,即
解得: 或
当时,
令得或,得
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
显然满足函数在处有极小值10.
当时,
所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.
所以
故选:A
【典例7】(2018·北京高考真题(文))设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;
(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)12;(Ⅱ)(1,+∞)
【解析】
(Ⅰ)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
f'(2)=(2a-1)e2,
由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.
(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,则当x∈(1a,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,
所以f'(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
方法二:f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
(1)当a=0时,令f'(x)=0得x=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
(2)当a>0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2ex≥0,
∴f(x)在R上单调递增,
∴f(x)无极值,不合题意.
②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
③当x11时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
(3)当a<0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
【规律方法】
由函数极值(个数)求参数的值或范围.
讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.
【变式探究】
1.(2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))在中,,,分别为,,所对的边,若函数有极值点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
先求出,根据条件可得有两个不同的实数根,从而其,得到,由余弦定理得出的范围,再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.
【详解】
由,根据有极值点,
则有两个不同的实数根.
所以,即
由余弦定理可得,由,所以,
由,则
所以的范围是
故选:B
2.(2020·石嘴山市第三中学高二期末(理))设函数在处取得极值为0,则__________.
【答案】
【解析】
,因为函数y=f(x)在处取得极值为0,所以,解得(舍)或,
代入检验时.无极值.所以(舍).符合题意.所以=.填.
【特别提醒】已知函数极值(个数),确定函数解析式中的参数时,注意以下两点:
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
考点五:利用导数求函数的最值
【典例8】(2021·北京高考真题)已知函数.
(1)若,求在处切线方程;
(2)若函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.
【答案】(1);(2)函数的增区间为,,单调递减区间为,最大值为,最小值为.
【解析】
(1)求出,的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;
(2)由可求得实数的值,然后利用导数分析函数的单调性与极值,由此可得出结果.
【详解】
(1)当时,,则,,,
此时,曲线在点处的切线方程为,即;
(2)因为,则,
由题意可得,解得,
故,,列表如下:
所以,函数的增区间为,,单调递减区间为.
当时,;当时,.
所以,,.
【规律方法】
求函数最值的四个步骤:第一步求函数的定义域;第二步求f′(x),解方程f′(x)=0;第三步列出关于x,f(x),f′(x)的变化表;第四步求极值,端点值,比较大小,确定最值.
特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
【典例9】(2019·全国高考真题(文))已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.
【答案】(1)见详解;(2) .
【解析】
(1)对求导得.所以有
当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;
当时,区间上单调递增;
当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
(2)
若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为.而,故所以区间上最大值为.
所以,设函数,求导当时从而单调递减.而,所以.即的取值范围是.
若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为.
所以,而,所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【易错提醒】
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
【变式探究】
1.(2020·浙江宁波诺丁汉附中高二期中)已知函数则的最小值为________,最大值为_______.
【答案】
【解析】
则当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,则当时,;
又,所以.
故答案为: ;.
2.(2019·新疆高考模拟(文))已知函数(其中e是自然对数的底数).
Ⅰ当时,求的最小值;
Ⅱ当时,求在上的最小值.
【答案】(I);(II)
【解析】
(I)时,
当时,;当时,
在上单调递减,在上单调递增
当时,取得最小值
(II),
令得
作出和的函数图象如图所示:
由图象可知当时,
,即
当时,
,即
在上单调递减,在上单调递增
的最小值为
考点六:根据函数的最值求参数的值(范围)
【典例10】(2021·全国高三二模)已知直线与曲线相切,当取得最大值时,的值为_______________________.
【答案】
【解析】
设切点为,根据导数的几何意义,可得,即可求得b的表达式,又切点在曲线上,代入可得,设,利用导数判断其单调性,求得极值,即可得答案.
【详解】
设切点为,
因为,
所以,即,
又因为,
所以,所以.

所以当时,,则在区间上单调递增,
当时,,则在区间上单调递减﹐
所以
所以的最大值为1,此时.
故答案为:1
【典例11】(2021·重庆高三其他模拟)已知函数,.
(1)求的单调性;
(2)若,且的最小值小于,求的取值范围.
【答案】(1)当时,在上单调递增, 当时,在上单调递减,在上单调递增;(2)
【解析】
(1)求出导函数,判断函数在①当时,②当时,判断导函数的符号,判断函数的单调性.
(2)求解函数的单调区间,求出函数的最小值,再构造函数,判断函数的单调性,结合零点存在定理即可求解.
【详解】
解:(1),,
①当时,恒成立,在上单调递增,
②当时,令,则,令,则,
在上单调递减,在上单调递增,
综上:当时,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
(2)由(1)知,则,
令,则,
令,,
在上单调递减,又, ,
存在,使得,
即,在上单调递增,在,上单调递减,
又, ,

的取值范围为.
【易错提醒】
1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.
2.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.
【变式探究】
1.(2021·四川高三月考(文))设函数,已知且,若的最小值为,则的值为( )
A.B.C.或D.2
【答案】A
【解析】
令,得到.令,则,分类讨论函数的单调性,即可求得.
【详解】
令,由图象可知.
因为,则,,
得,,
所以.
令,
则,
∴当时,在上单调递减,
所以,
解得;
∴当时,在上单调递减,在上单调递增,
所以,解得,舍去.
综上可得.
故选A.
2.(2019·北京高考模拟(文))设函数 若,则的最小值为__________; 若有最小值,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
(1)当a=1,,=()=()>0,1>x>ln2;
()<0,x(2) ①当a<0时,由(1)知=单调递减,故()单调递减,故故无最小值,舍去;
②当a=0时,f(x)最小值为-1,成立
③当a>0时,()单调递增,故
对=,
当0当a>ln2, 由(1)知,此时最小值为,即有最小值,综上a
故答案为 ;
新课程考试要求
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值,极小值,会求闭区间上函数的最大值,最小值,会用导数解决某些实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养:逻辑推理(多例),数学建模,直观想象(例2),数学运算(多例),数据分析等.
考向预测
(1)以研究函数的单调性,单调区间等问题为主,根据函数的单调性确定参数的值或范围,与不等式,函数与方程,函数的图象相结合;
(2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现;大题常与不等式,方程等结合考查,综合性较强.其中研究函数的极值,最值,都绕不开研究函数的单调性.
(3)以研究函数的单调性,单调区间,极值(最值)等问题为主,与不等式,函数与方程,函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势.
(4)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现;
(5)适度关注生活中的优化问题.
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
?
f(x)

极大值

x
(-∞,1)
1
(1,1a)
1a
(1a,+∞)
f'(x)
+
0
?
0
+
f(x)

极大值

极小值

x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
?
0
+
f(x)

极大值

极小值

x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
?
0
+
0
?
f(x)

极小值

极大值


极大值

极小值

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