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中考数学压轴题剖析与精炼(含解析):09 二次函数的综合性问题试卷
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中考数学压轴题剖析与精炼(含解析):09 二次函数的综合性问题试卷

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这是一份中考数学压轴题剖析与精炼(含解析):09 二次函数的综合性问题试卷,共52页。

【典例分析】
【考点1】二次函数与经济利润问题
【例1】扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了.
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?
(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计.)
【答案】(1)这种水果今年每千克的平均批发价是24元;(2)每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元.
【解析】
【分析】
(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元,可得今年的批发销售总额为万元,设这种水果今年每千克的平均批发价是元,则去年的批发价为元,可列出方程:,求得即可.
(2)根据总利润=(售价﹣成本)×数量列出方程,根据二次函数的单调性即可求最大值.
【详解】
(1)由题意,设这种水果今年每千克的平均批发价是元,则去年的批发价为元,
今年的批发销售总额为万元,
∴,
整理得,
解得或(不合题意,舍去).
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元.
(2)设每千克的平均售价为元,依题意
由(1)知平均批发价为24元,则有

整理得,
∵,
∴抛物线开口向下,
∴当元时,取最大值,
即每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,根据每天的利润=一件的利润×销售件数,建立函数关系式,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
【变式1-1】某农作物的生长率P 与温度 t(℃)有如下关系:如图 1,当10≤t≤25 时可近似用函数刻画;当25≤t≤37 时可近似用函数 刻画.
(1)求h的值.
(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系:
①请运用已学的知识,求m 关于P 的函数表达式;
②请用含的代数式表示m ;
(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为 200元,该作物 30 天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加 600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).
【答案】(1);(2)①,②;(3)当时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.
【解析】
【分析】
(1)根据求出t=25时P的值,代入即可;
(2)①由表格可知m与p的一次函数,用待定系数法求解即可;②分当时与当时两种情况求解即可;
(3)分当时与当时两种情况求出增加的利润,然后比较即可.
【详解】
(1)把t=25代入,得P=0.3,
把(25,0.3)的坐标代入得或
,.
(2)①由表格可知m与p的一次函数,设m=kp+b,由题意得

解之得


②当时,,
当时,.

(3)(Ⅰ)当时,
由,,得.
增加利润为.
当时,增加利润的最大值为6000元.
(Ⅱ)当时,.
增加利润为,
当时,增加利润的最大值为15000元.
综上所述,当时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的应用,用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的图像与性质,利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解(1)的关键,分类讨论是解(2)与(3)的关键.
【变式1-2】网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店,销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售,其成本为每千克10元.公司在试销售期间,调查发现,每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元,则销售单价x应定为多少元?
(3)设每天销售该特产的利润为W元,若,求:销售单价x为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1);(2)销售单价x应定为15元;(3)当时,每天的销售利润最大,最大利润是6480元.
【解析】
【分析】
(1)当时,可直接根据图象写出;当时,y与x成一次函数关系,用待定系数法求解即可;
(2)根据销售利润=每千克的利润(x-10)×销售量y,列出方程,解方程即得结果;
(3)根据销售利润w=每千克的利润(x-10)×销售量y,可得w与x的二次函数,再根据二次函数求最值的方法即可求出结果.
【详解】
解:(1)由图象知,当时,;
当时,设,将,代入得,解得,
∴y与x之间的函数关系式为;
综上所述,;
(2),
∵,∴,
∴,
解得:(不合题意舍去),,
答:销售单价x应定为15元;
(3)当时,,
∵,,
∴当时,每天的销售利润最大,最大利润是6480元.
【点睛】
本题考查了一次函数,二次函数和一元二次方程的实际应用,正确理解题意求出函数关系式,熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.
【考点2】二次函数与几何图形问题
【例2】空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.
(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;
(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.
【答案】(1)利用旧墙AD的长为10米.(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)按题意设出AD,表示AB构成方程;
(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系.
【详解】
(1)设AD=x米,则AB=米
依题意得,=450
解得x1=10,x2=90
∵a=20,且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米.
(2)设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意
得:
S=,0<x<a
∵0<a<50
∴x<a<50时,S随x的增大而增大
当x=a时,S最大=50a-a2
②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得
S=,a≤x<50+
当a<25+<50时,即0<a<时,
则x=25+时,S最大=(25+)2=,
当25+≤a,即≤a<50时,S随x的增大而减小
∴x=a时,S最大==,
综合①②,当0<a<时,-()=>0
>,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米
当≤a<50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.
∴当0<a<时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米;
当≤a<50时,围成长为a米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米.
【点睛】
本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系.
【变式2-1】如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)△PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标(,).
【解析】
【分析】
(1)因为对称轴是直线x=-1,所以得到点A(-3,0)的对称点是(1,0),因此利用交点式y=a(x-x1)(x-x2),求出解析式.
(2)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得最大值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
【详解】
(1)∵抛物线对称轴是直线x=﹣1且经过点A(﹣3,0)
由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点(1,0)
设抛物线的解析式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)
即:y=a(x﹣1)(x+3)
把B(0,3)代入得:3=﹣3a
∴a=﹣1
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴,
∴直线AB为y=x+3,
作PQ⊥x轴于Q,交直线AB于M,
设P(x,﹣x2﹣2x+3),则M(x,x+3),
∴PM=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x,
∴,
当时,,,
∴△PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标为(,).
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,利用面积的和得出二次函数是解题关键,又利用了二次函数的性质.
【变式2-2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长;
(2)当点Q与点C重合时,求t的值;
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.
【答案】(1)CD= 2﹣t(0<t<2);(2)1;(3)见解析;(4)t的值为秒或秒或秒.
【解析】
【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;
(2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论;
(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论;
(4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.
【详解】(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=4,
∴AC=2,
∵PD⊥AC,
∴∠ADP=∠CDP=90°,
在Rt△ADP中,AP=2t,
∴DP=t,AD=APcsA=2t×=t,
∴CD=AC﹣AD=2﹣t(0<t<2);
(2)在Rt△PDQ中,∵∠DPC=60°,
∴∠PQD=30°=∠A,
∴PA=PQ,
∵PD⊥AC,
∴AD=DQ,
∵点Q和点C重合,
∴AD+DQ=AC,
∴2×t=2,
∴t=1;
(3)当0<t≤1时,S=S△PDQ=DQ×DP=×t×t=t2,
当1<t<2时,如图2,
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2(t﹣1),
在Rt△CEQ中,∠CQE=30°,
∴CE=CQ?tan∠CQE=2(t﹣1)×=2(t﹣1),
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×t×t﹣×2(t﹣1)×2(t﹣1)=﹣t2+4t﹣2,
∴S=;
(4)当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,如图3,
∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2,
∵∠A=∠AQP=30°,
∴∠FPG=60°,
∴∠PFG=30°,
∴PF=2PG=2t,
∴AP+PF=2t+2t=2,
∴t=;
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时,如图4,
∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,
在Rt△NMQ中,NQ=,
∵AN+NQ=AQ,
∴+=2t,
∴t=,
当PQ的垂直平分线过BC的中点时,如图5,
∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BFH=30°=∠H,
∴BH=BF=1,
在Rt△PEH中,PH=2PE=2t,
∴AH=AP+PH=AB+BH,
∴2t+2t=5,
∴t=,
即:当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为秒或秒或秒.
【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,根据题意准确作出图形,熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.
【考点3】二次函数与抛物线形问题
【例3】如图,斜坡AB长10米,按图中的直角坐标系可用y=x+5表示,点A,B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备,喷出的水柱呈抛物线形落到B处,抛物线可用y=x2+bx+c表示.
(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围);
(2)求水柱离坡面AB的最大高度;
(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树,水柱能否越过这棵树?
【答案】(1)y=-x2+x+5;(2)当x=时,水柱离坡面的距离最大,最大距离为;(3)水柱能越过树,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意先求出A,B的坐标,再把其代入解析式即可
(2)由(1)即可解答
(3)过点C作CD⊥OA于点D,求出OD=4,把OD代入解析式即可
【详解】
(1)∵AB=10,∠OAB=30°,
∴OB=AB=5,OA =10×=5,
则A(5,0),B(0,5),
将A,B坐标代入y=-x2+bx+c,得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=-x2+x+5;
(2)水柱离坡面的距离d=-x2+x+5-(-x+5)
=-x2+x
=-(x2-5x)
=-(x-)2+,
∴当x=时,水柱离坡面的距离最大,最大距离为;
(3)如图,过点C作CD⊥OA于点D,
∵AC=2,∠OAB=30°,
∴CD=1,AD=,
则OD=4,
当x=4时,y=-×(4)2+×4+5=5>1+3.5,
所以水柱能越过树.
【点睛】
此题考查二次函数的应用,解题关键在于求出A,B的坐标
【变式3-1】如图,一座拱桥的轮廓是抛物线型,拱高6,在长度为8的两支柱和之间,还安装着三根支柱,相邻两支柱间的距离为5.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求拱桥抛物线的函数表达式;
(2)求支柱的长度.
(3)拱桥下面拟铺设行车道,要保证高3的汽车能够通过(车顶与拱桥的距离不小于0.3),行车道最宽可以铺设多少米?
【答案】(1);(2)EF=3.5m;(3)行车道最宽可以铺设13.4米.
【解析】
【分析】
(1)根据题目可知抛物线经过的两点的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解;
(2)设N点的坐标为(15,y)可求出支柱EF的长度;
(3)令y=3.3,求得x的值即可求解.
【详解】
(1)根据题意,设拱桥抛物线的函数表达式为:,
∵相邻两支柱间的距离均为5m,∴OA=4×5m=20m,
∴(20,0),(10,6)两点都在抛物线上,
∴,解得
∴.
(2)设点F的坐标为(15,y),
∴.
∴EF=8mm=m=3.5m.
(3)当y=3+0.3=3.3(m)时,有,
化简,得,
解得,,,
∴.
答:行车道最宽可以铺设13.4米.
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题是解题根本,求出二次函数关系式是关键.
【变式3-2】
如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.
(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是 (填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是 ,求出你所选方案中的抛物线的表达式;
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.
【答案】(1) 方案1; B(5,0); ;(2) 3.2m.
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线在坐标系的位置,可用待定系数法求抛物线的解析式.
(2)把x=3代入抛物线的解析式,即可得到结论.
试题解析:解:方案1:(1)点B的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:.由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:,∴抛物线的解析式为:;
(2)由题意:把代入,解得:=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m.
方案2:(1)点B的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为:.
由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得:,∴抛物线的解析式为:;
(2)由题意:把代入解得:=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m.
方案3:(1)点B的坐标为(5, ),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).
设抛物线的解析式为:,把点B的坐标(5, ),代入解析式可得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2)由题意:把代入解得:=,∴水面上涨的高度为3.2m.
【达标训练】
1.如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )
A.18m2B.m2C.m2D.m2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E,则四边形ADCE为矩形,CD=AE=x,∠DCE=∠CEB=90°,则
∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°,BC=12-x,由直角三角形的,性质得出得出,又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式,根据二次函数的性质求解.
【详解】
解:如图,过点C作CE⊥AB于E,
则四边形ADCE为矩形,CD=AE=x,∠DCE=∠CEB=90°, 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°,BC=12-x,
在Rt△CBE中,∵∠CEB=90°,
∴梯形ABCD面积
∴当x=4时,S最大=24.
即CD长为4 m时,使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2;
故选C.
【点睛】
此题考查了梯性质,矩形的性质,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理,二次函数的运用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键
2.如图,坐标平面上有一顶点为的抛物线,此抛物线与方程式的图形交于,两点,为正三角形.若点坐标为,则此抛物线与轴的交点坐标为何?( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设,,,可知,再由等边三角形的性质可知,设抛物线解析式,将点代入解析式即可求,进而求解.
【详解】
解:设,,
点坐标为,

为正三角形,
, ,
设抛物线解析式,



当时,;
故选:B.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质,等边三角形的性质;结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键.
3.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2,由已知可得点B坐标为(45,-78),利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系,
∴设抛物线解析式为y=ax2,点B(45,-78),
∴-78=452a,
解得:a=,
∴此抛物线钢拱的函数表达式为,
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
4.如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,若水面下降2m,则水面宽度增加( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知建立平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.
【详解】
解:以AB所在的直线为x轴,向右为正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,向上为正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0),
得出:a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,
把y=-2代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2,
解得:x=±2,
所以水面宽度增加到4米,比原先的宽度当然是增加了(4-4)米,
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.
5.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位:m)与时间t(单位:min)的函数图象,其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A.25min~50min,王阿姨步行的路程为800m
B.线段CD的函数解析式为
C.5min~20min,王阿姨步行速度由慢到快
D.曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【解析】
【分析】
直接观察图象可判断A,C,利用待定系数法可判断B,D,由此即可得答案.
【详解】
观察图象可知5min~20min,王阿姨步行速度由快到慢,25min~50min,王阿姨步行的路程为2000-1200=800m,故A选项正确,C选项错误;
设线段CD的解析式为s=mt+n,将点(25,1200),(50,2000)分别代入得
,解得:,
所以线段CD的函数解析式为,故B选项正确;
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分,所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200,
把(5,525)代入得:525=a(5-20)2+1200,
解得:a=-3,
所以曲线段AB的函数解析式为,故D选项正确,
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题,C项的图象由陡变平,说明速度是变慢的,所以C是错误的.
【点睛】
本题考查了函数图象问题,涉及了待定系数法求一次函数解析式,求二次函数解析式,读懂图象,正确把握相关知识是解题的关键.
6.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度(单位:)与水平距离(单位:)近似满足函数关系().下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
分析: 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解:设对称轴为,
由(,)和(,)可知,,
由(,)和(,)可知,,
∴,
故选B.
点睛:考查抛物线的对称性,熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
7.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加______m.
【答案】4-4
【解析】
【分析】
根据已知建立平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.
【详解】
建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式,其中可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出:所以抛物线解析式为
当水面下降2米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把代入抛物线解析式得出:
解得:
所以水面宽度增加到米,比原先的宽度当然是增加了
故答案是:
【点睛】
考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.
8.如图是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O,A两处双测P处,仰角分别为α,β,且tanα=,tanβ=,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系. P点坐标为_____;若水面上升1m,水面宽为_____m.
【答案】;
【解析】
【分析】
(1)过点P作PH⊥OA于H,通过解Rt△OHP,Rt△AHP求得点P的横纵坐标;
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题.
【详解】
解:(1)过点P作PH⊥OA于H,如图.
设PH=3x,
在Rt△OHP中,
∵tanα=,
∴OH=6x.
在Rt△AHP中,
∵tanβ=,
∴AH=2x,
∴OA=OH+AH=8x=4,
∴x=,
∴OH=3,PH=,
∴点P的坐标为(3,);
故答案是:(3,);
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,
过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x﹣4),
∵P(3,)在抛物线y=ax(x﹣4)上,
∴3a(3﹣4)=,
解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x(x﹣4).
当y=1时,﹣x(x﹣4)=1,
解得x1=2+,x2=2﹣,
∴BC=(2+)﹣(2﹣)=2.
故答案是:2.
【点睛】
本题主要二次函数的应用,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
9.如图,有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞,门洞内的地面宽度为,两侧离地面高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为,则这个门洞的高度为_______.(精确到)
【答案】9.1
【解析】
【分析】
建立直角坐标系,得到二次函数,门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标
【详解】
如图,以地面为x轴,门洞中点为O点,画出y轴,建立直角坐标系
由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)
设抛物线解析式为y=ax2+c(a≠0)把B,D两点带入解析式
可得解析式为,则C(0,)
所以门洞高度为m≈9.1m
【点睛】
本题考查二次函数的简单应用,能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键
10.某政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?
(2)小亮调査发现,种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若种湘莲礼盒的售价和销量不变,当种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
【答案】(1)该店平均每天销售礼盒10盒,种礼盒为20盒;(2)当种湘莲礼盒降价9元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,可设平均每天销售礼盒盒,种礼盒为盒,列二元一次方程组即可解题
(2)根据题意,可设种礼盒降价元/盒,则种礼盒的销售量为:()盒,再列出关系式即可.
【详解】
解:(1)根据题意,可设平均每天销售礼盒盒,种礼盒为盒,
则有,解得
故该店平均每天销售礼盒10盒,种礼盒为20盒.
(2)设A种湘莲礼盒降价元/盒,利润为元,依题意
总利润
化简得

∴当时,取得最大值为1307,
故当种湘莲礼盒降价9元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.
11.当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量(本)与销售单价(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意列函数关系式即可;
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元.根据题意得到w=(x-20-a)(-10x+500)=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30≤x≤38)求得对称轴为x=35+a,且0<a≤6,则30<35+a≤38,则当时,取得最大值,解方程得到a1=2,a2=58,于是得到a=2.
【详解】
解:(1)根据题意得,;
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为元.
对称轴为x=35+a,且0<a≤6,则30<35+a ≤38,
则当时,取得最大值,

∴(不合题意舍去),
∴.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,难度较大,最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答,正确的理解题意,确定变量,建立函数模型.
12.某网店销售一种儿童玩具,进价为每件30元,物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的.在销售过程中发现,这种儿童玩具每天的销售量(件与销售单价(元满足一次函数关系.当销售单价为35元时,每天的销售量为350件;当销售单价为40元时,每天的销售量为300件.
(1)求与之间的函数关系式.
(2)当销售单价为多少时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是多少?
【答案】(1);(2)当销售单价为48元时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是3960元.
【解析】
【分析】
(1)设与之间的函数关系式为,根据题意得到方程组,于是得到结论;
(2)设利润为元,列不等式得到,根据题意得到函数解析式,根据二次函数的性质即可得到结论.
【详解】
(1)设与之间的函数关系式为,
根据题意得,,
解得:,
与之间的函数关系式为;
(2)设利润为元,


根据题意得,,
,对称轴,
当时,,
答:当销售单价为48元时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是3960元.
【点睛】
本题考查二次函数的应用,一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
13.某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示:
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
【答案】(1)y与x的函数解析式为;(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【解析】
【分析】
(1)当6x≤10时,由题意设y=kx+b(k=0),利用待定系数法求得k,b的值即可;当10<x≤12时,由图象可知y=200,由此即可得答案;
(2))设利润为w元,当6≦x≤10时,w=-200+1250,根据二次函数的性质可求得最大值为1250;当10<x≤12时,w=200x-1200,由一次函数的性质结合x的取值范围可求得w的最大值为1200,两者比较即可得答案.
【详解】
(1)当6x≤10时,由题意设y=kx+b(k=0),它的图象经过点(6,1000)与点(10,200),
∴ ,
解得 ,
∴当6x≤10时, y=-200x+2200,
当10<x≤12时,y=200,
综上,y与x的函数解析式为;
(2)设利润为w元,
当6x≤10时,y=-200x+2200,
w=(x-6)y=(x-6)(-200x+200)=-200+1250,
∵-200<0,6≦x≤10,
当x=时,w有最大值,此时w=1250;
当10<x≤12时,y=200,w=(x-6)y=200(x-6)=200x-1200,
∴200>0,
∴w=200x-1200随x增大而增大,
又∵10<x≤12,
∴当x=12时,w最大,此时w=1200,
1250>1200,
∴w的最大值为1250,
答:这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,二次函数的应用,涉及了待定系数法,二次函数的性质,一次函数的性质等,弄清题意,找准各量间的关系是解题的关键.
14.攀枝花得天独厚,气候宜人,农产品资源极为丰富,其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果,进价为10元/千克,售价不低于15元/千克,且不超过40元/每千克,根据销售情况,发现该芒果在一天内的销售量(千克)与该天的售价(元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系.
(1)某天这种芒果售价为28元/千克.求当天该芒果的销售量
(2)设某天销售这种芒果获利元,写出与售价之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元,那么这天芒果的售价为多少元?
【答案】(1)芒果售价为28元/千克时,当天该芒果的销售量为32千克;(2)这天芒果的售价为20元
【解析】
【分析】
(1)用待定系数求出一次函数解析式,再代入自变量的值求得函数值;
(2)根据利润=销量×(售价?成本),列出m与x的函数关系式,再由函数值求出自变量的值.
【详解】
解:(1)设该一次函数解析式为
则,解得:
∴()
∴当时,,
∴芒果售价为28元/千克时,当天该芒果的销售量为32千克
(2)由题易知,
当时,则
整理得:
解得:,


所以这天芒果的售价为20元
【点睛】
本题是一次函数与二次函数的应用的综合题,主要考查了用待定系数法求函数的解析式,由函数值求自变量,由自变量的值求函数值,正确求出函数解析式是解题的关键.
15.某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元/千克,每天的产量(百千克)与销售价格(元/千克)满足函数关系式,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量(百千克)与销售价格(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如表:
已知按物价部门规定销售价格不低于2元/千克且不高于10元/千克.
(1)直接写出与的函数关系式,并注明自变量的取值范围;
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求的取值范围;
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当为______元/千克时,利润有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则应定为______元/千克.
【答案】(1),其中;(2);(3),5
【解析】
【分析】
(1)设与的函数关系式为:,根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可;
(2)①当每天的半成品食材能全部售出时,有,据此列不等式进行求解即可;
②根据自变量为,两种情况分别列式进行求解即可;
(3)根据(2)中的情况利用二次函数的性质分别进行讨论即可求得答案.
【详解】
(1)由表格的数据,设与的函数关系式为:,
根据表格的数据得,解得,
故与的函数关系式为:,其中;
(2)①当每天的半成品食材能全部售出时,有,
即,解得,
又,所以此时,
②由①可知,当时,

当时,,
即有;
(3)当时,
的对称轴为,
∴当时,y随着x的增大而增大,
∴时有最大值,,
当时,,
∵,,
∴时取最大值,
即此时有最大利润,
要使每天的利润不低于24百元,则当时,显然不符合,
故,解得,
故当时,能保证不低于24百元,
故答案为:,5.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,涉及了待定系数法,二次函数的性质等知识,弄清题意,找准各量间的关系,正确列出函数的关系式是解题的关键.
16.随着技术的发展,人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第(为正整数)个销售周期每台的销售价格为元,与之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求与之间的关系式;
(2)设该产品在第个销售周期的销售数量为(万台),与的关系可用来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
【答案】(1)与之间的关系式为;(2)第个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是元.
【解析】
【分析】
(1)根据两点坐标即可求出一次函数的解析式;
(2)根据题意令销售收入W=py,再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
(1)设与之间的关系式为y=kx+b,
把(1,7000),(5,5000)代入y=kx+b,
得,解得
∴与之间的关系式为;
(2)令销售收入W=py==
∴当x=7时,W有最大值为16000,
此时y=-500×7+7500=4000
故第个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是元.
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的应用,解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.
17.2019年在法国举办的女足世界杯,为人们奉献了一场足球盛宴.某商场销售一批足球文化衫,已知该文化衫的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每个月可售出100件.根据市场行情,现决定涨价销售,调查表明,每件商品的售价每上涨1元,每个月会少售出2件,设每件商品的售价为x元,每个月的销量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好为2250元;
(3)当每件商品的售价定为多少元时,每个月获得利润最大?最大月利润为多少?
【答案】(1)y=220﹣2x;(2)当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元;(3)当x=75,即售价为75元时,月利润最大,且最大月利润为2450元.
【解析】
【分析】
(1)根据月销量等于涨价前的月销量,减去涨价(x-60)与涨价1元每月少售出的件数2的乘积,化简可得;
(2)月销售量乘以每件的利润等于利润2250,解方程即可;
(3)根据题意列出二次函数解析式,由顶点式,可知何时取得最大值及最大值是多少.
【详解】
(1)由题意得,月销售量y=100﹣2(x﹣60)=220﹣2x(60≤x≤110,且x为正整数)
答:y与x之间的函数关系式为y=220﹣2x.
(2)由题意得:(220﹣2x)(x﹣40)=2250
化简得:x2﹣150x+5525=0
解得x1=65,x2=85
答:当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元.
(3)设每个月获得利润w元,由(2)知w=(220﹣2x)(x﹣40)=﹣2x2+300x﹣8800
∴w=﹣2(x﹣75)2+2450
∴当x=75,即售价为75元时,月利润最大,且最大月利润为2450元.
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用,二次函数的应用,解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.
18.某服装超市购进单价为30元的童装若干件,物价部门规定其销售单价不低于每件30元,不高于每件60元.销售一段时间后发现:当销售单价为60元时,平均每月销售量为80件,而当销售单价每降低10元时,平均每月能多售出20件.同时,在销售过程中,每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元,平均月销售量为y件.
(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当销售单价为多少元时,销售这种童装每月可获利1800元?
(3)当销售单价为多少元时,销售这种童装每月获得利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)y=﹣2x+200 (30≤x≤60);(2)当销售单价为55元时,销售这种童装每月可获利1800元;(3)当销售单价为60元时,销售这种童装每月获得利润最大,最大利润是1950元.
【解析】
【分析】
(1)当销售单价为60元时,平均每月销售量为80件,而当销售单价每降低10元时,平均每月能多售出20件.从而用60减去x,再除以10,就是降价几个10元,再乘以20,再把80加上就是平均月销售量;
(2)利用(售价﹣进价)乘以平均月销售量,再减去每月需要支付的其他费用,让其等于1800,解方程即可;
(3)由(2)方程式左边,可得每月获得的利润函数,写成顶点式,再结合函数的自变量取值范围,可求得取最大利润时的x值及最大利润.
【详解】
解:(1)由题意得:y=80+20×
∴函数的关系式为:y=﹣2x+200 (30≤x≤60)
(2)由题意得:
(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=1800
解得x1=55,x2=75(不符合题意,舍去)
答:当销售单价为55元时,销售这种童装每月可获利1800元.
(3)设每月获得的利润为w元,由题意得:
w=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450
=﹣2(x﹣65)2+2000
∵﹣2<0
∴当x≤65时,w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x=60时,w最大=﹣2(60﹣65)2+2000=1950
答:当销售单价为60元时,销售这种童装每月获得利润最大,最大利润是1950元.
【点睛】
本题综合考查了一次函数,一元二次方程,二次函数在实际问题中的应用,具有较强的综合性.
19.某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如表:
若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:
(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?
【答案】(1)y=﹣x+40;(2)要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元.
【解析】
【分析】
(1)根据表格中的数据,利用待定系数法,求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可
(2)利用每件利润×总销量=总利润,进而求出二次函数最值即可.
【详解】
(1)依题意,根据表格的数据,设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y=kx+b得
,解得,
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为:y=﹣x+40;
(2)依题意,设利润为w元,得
w=(x﹣10)(﹣x+40)=﹣x2+50x+400,
整理得w=﹣(x﹣25)2+225,
∵﹣1<0,
∴当x=2时,w取得最大值,最大值为225,
故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,二次函数的应用,正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
20.为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据场调查,在草莓上市销售的30天中,其销售价格(元/公斤)与第天之间满足(为正整数),销售量(公斤)与第天之间的函数关系如图所示:
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.
(1)求销售量与第天之间的函数关系式;
(2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润与第天之间的函数关系式;(日销售利润=日销售额﹣日维护费)
(3)求日销售利润的最大值及相应的.
【答案】(1) ;(2) ;(3)草莓销售第13天时,日销售利润最大,最大值是1313.2元
【解析】
【分析】
本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.
(1)依据题意利用待定系数法易求得销售量与第天之间的函数关系式,
(2)然后根据销售利润=销售量×(售价﹣进价),列出每天的销售利润与第天之间的函数关系式,
(3)再依据函数的增减性求得最大利润.
【详解】
(1)当时,设,由图知可知
,解得,
同理得,当时,
销售量与第天之间的函数关系式:
(2)

整理得,
(3)当时,
的对称轴
此时,在对称轴的右侧随的增大而增大
时,取最大值,则
当时
的对称轴是
在时,取得最大值,此时
当时
的对称轴为
此时,在对称轴的左侧随的增大而减小
时,取最大值,的最大值是
综上,草莓销售第13天时,日销售利润最大,最大值是1313.2元
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说二次函数的最值不一定在时取得.
21.辰星旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间.按现有定价:若全部入住,一天营业额为8500元;若甲,乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元.
(1)求甲,乙两种客房每间现有定价分别是多少元?
(2)度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润最大,最大利润是多少元?
【答案】(1)甲,乙两种客房每间现有定价分别是300元,200元;(2)每间房间定价为240元时,乙种风格客房每天的利润最大,最大利润是2560元.
【解析】
【分析】
(1)根据题意“若全部入住,一天营业额为8500元;若甲,乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元”设未知数列出相应的二元一次方程组,解方程组即可解答本题;
(2)根据题意列出关于乙种房价的函数关系式,然后根据二次函数的性质即可解答本题.
【详解】
解:设甲,乙两种客房每间现有定价分别是元,元,
根据题意,得:,
解得,
答:甲,乙两种客房每间现有定价分别是300元,200元;
(2)设每天的定价增加了个20元,则有个房间空闲,
根据题意得:,
∵,
∴当时,取得最大值,最大值为2560,此时房间的定价为元.
答:当每间房间定价为240元时,乙种风格客房每天的利润最大,最大利润是2560元.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,正确列出方程组和二次函数关系式,利用二次函数的性质解答.
22.某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼,其进价为元/.设第天的销售价格为(元/),销售量为.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①当时,;当时,与满足一次函数关系,且当时,;时,.②与的关系为.
(1)当时,与的关系式为 ;
(2)为多少时,当天的销售利润(元)最大?最大利润为多少?
(3)若超市希望第天到第天的日销售利润(元)随的增大而增大,则需要在当天销售价格的基础上涨元/,求的最小值.
【答案】(1);(2)为时,当天的销售利润(元)最大,最大利润为元;(3)3
【解析】
【分析】
(1)依据题意利用待定系数法,易得出当时,与的关系式为:,
(2)根据销售利润=销售量×(售价﹣进价),列出每天的销售利润(元)与销售价(元/箱)之间的函数关系式,再依据函数的增减性求得最大利润.
(3)要使第天到第天的日销售利润(元)随的增大而增大,则对称轴,求得即可
【详解】
(1)依题意,当时,时,,
当时,设,
则有,解得
与的关系式为:
(2)依题意,
整理得,
当时,
随增大而增大
时,取最大值
当时,
时,取得最大值,此时
综上所述,为时,当天的销售利润(元)最大,最大利润为元
(3)依题意,
第天到第天的日销售利润(元)随的增大而增大
对称轴,得
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).
23.某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系式为(,t为整数),销售单价p(元/kg)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
(1)直接写出销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系式.
(2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1);(2) 第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.
【解析】
【分析】
(1)设销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系式为:,将,解方程组即可得到结论;
(2)设每天获得的利润为w元,由题意得到,根据二次函数的性质即可得到结论.
【详解】
(1)设销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系式为:,
将,代入得,,
解得:,
∴销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系式为:;
(2)设每天获得的利润为w元,
由题意得,


∴w有最大值,
当时,w最大,此时,,
答:第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握待定系数求函数解析式,由相等关系得出利润的函数解析式,利用二次函数的图象与性质是解题的关键.
24.如图,(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N, FN⊥BC.
(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?
(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.
【答案】(1)AE=EF;(2)①y=-x2+2x(0<x<4),②当x=2,y最大值=2.
【解析】
【分析】
(1)在AB上取一点G,使AG=EC,连接GE,利用ASA,易证得:△AGE≌△ECF,则可证得:AE=EF;
(2)同(1)可证明AE=EF,利用AAS证明△ABE≌△ENF,根据全等三角形对应边相等可得FN=BE,再表示出EC,然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y,然后整理再根据二次函数求解最值问题.
【详解】
(1)如图,在AB上取AG=EC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
有∵AG=EC ,∴BG=BE ,
又∵∠B=90°,
∴∠AGE=135°,
又∵∠BCD=90°,CP平分∠DCN,
∴∠ECF=135°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AGE和△ECF中,
,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF;
(2)①∵由(1)证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF,
∵∠BAE=∠NEF,∠B=∠ENF=90°,
∴△ABE≌△ENF,
∴FN=BE=x,
∴S△ECF= (BC-BE)·FN,
即y= x(4-x),
∴y=- x2+2x(0<x<4),
②,
当x=2,y最大值=2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数的最值问题,综合性较强,正确添加辅助线,熟练掌握相关知识是解题的关键.
25.有一块形状如图的五边形余料,,,,,.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一边在上,并使所截矩形的面积尽可能大.
(1)若所截矩形材料的一条边是或,求矩形材料的面积;
(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不能,请说明理由.
【答案】(1)S=30;(2)能,的最大值为30.25.
【解析】
【分析】
(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,过点C作CF⊥AE于F,得出S1=AB?BC=6×5=30;
②若所截矩形材料的一条边是AE,过点E作EF∥AB交CD于F,FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于H,则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,证出△CHF为等腰三角形,得出AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,求出BG=CH=FH=FG-HG=1,AG=AB-BG=5,得出S2=AE?AG=6×5=30;
(2)在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于M,FN⊥AE于N,过点C作CG⊥FM于G,则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,证出△CGF为等腰三角形,得出MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,设AM=x,则BM=6-x,FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,得出S=AM×FM=x(11-x)=-x2+11x,由二次函数的性质即可得出结果.
【详解】
(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,如图1所示:
过点C作CF⊥AE于F,S1=AB?BC=6×5=30;
②若所截矩形材料的一条边是AE,如图2所示:
过点E作EF∥AB交CD于F,FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于H,
则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,
∵∠C=135°,
∴∠FCH=45°,
∴△CHF为等腰直角三角形,
∴AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1,
∴AG=AB-BG=6-1=5,
∴S2=AE?AG=6×5=30;
(2)能;理由如下:
在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于M,FN⊥AE于N,过点C作CG⊥FM于G,
则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,
∵∠C=135°,
∴∠FCG=45°,
∴△CGF为等腰直角三角形,
∴MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,
设AM=x,则BM=6-x,
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,
∴S=AM×FM=x(11-x)=-x2+11x=-(x-5.5)2+30.25,
∴当x=5.5时,S的最大值为30.25.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,矩形面积公式以及二次函数的应用等知识;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键.
26.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为m.
(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是4 m.
【解析】
【详解】
试题分析:根据点B和点C在函数图象上,利用待定系数法求出b和c的值,从而得出函数解析式,根据解析式求出顶点坐标,得出最大值;根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0)),然后求出当x=2或x=10时y的值,与6进行比较大小,比6大就可以通过,比6小就不能通过;将y=8代入函数,得出x的值,然后进行做差得出最小值.
试题解析:(1)由题知点在抛物线上
所以,解得,所以
所以,当时,
答:,拱顶D到地面OA的距离为10米
(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0))
当x=2或x=10时,,所以可以通过
(3)令,即,可得,解得
答:两排灯的水平距离最小是
考点:二次函数的实际应用.
27.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上,则称为的伴随函数,如:是的伴随函数.
(1)若是的伴随函数,求直线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4,求,的值.
【答案】(1)8;(2),.
【解析】
【分析】
(1)先求出二次函数的顶点,再把顶点代入一次函数求出p,再求出一次函数与坐标轴的交点坐标,再利用三角形的面积公式求解;
(2)先根据函数与轴两个交点间的距离为4,求出n,再求出二次函数的顶点,将顶点代入一次函数即可求解.
【详解】
解:(1),
其顶点坐标为,
是的伴随函数,
在一次函数的图象上,


一次函数为:,
一次函数与坐标轴的交点分别为,,
直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为,
直线与两坐标轴围成的三角形的面积为:.
(2)设函数与轴两个交点的横坐标分别为,,则,,

∵函数与轴两个交点间的距离为4,

解得,,
函数为:,
其顶点坐标为,
是的伴随函数,


【点睛】
本题考查的是二次函数和一次函数的综合运用,熟练掌握两者是解题的关键.
生长率P
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m (天)
0
5
10
15
销售量(千克)

32.5
35
35.5
38

售价(元/千克)

27.5
25
24.5
22

销售价格(元/千克)
2
4

10
市场需求量(百千克)
12
10

4
x(元)
15
20
30

y(袋)
25
20
10

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