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专题01 单调性的几个等价命题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用)
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专题01 单调性的几个等价命题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用)

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这是一份专题01 单调性的几个等价命题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用),共9页。

函数f(x)为定义域在上的增函数对任意,当时,都有;
对任意,当时,都有函数f(x)-kx为上的增函数
说明:含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或?,?等不等式,进行“尘归尘,土归土”式的整理,是一种常见变形,如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性,往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小).
【典型题示例】
例1 (2021·江苏镇江八校·12联考)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过(0,1)点,对任意,当时,都有,则不等式)的解集为( )
A.(In2, +∞)B.(-∞,ln2)C.(In 2,1)D.(0, ln 2)
【答案】D
【分析】移项通分,按结构相同,同一变量分成一组的原则,将化为
令,
故在R上单增,且
可化为
即,所以,,解之得
所以不等式)的解集为(0, ln 2).
点评:
f(x)在单增(减)对任意,当时,都有 ;
结构联想,当题目中出现,应移项通分转化为,即F(x)=f(x)-ax在单增.
例2 (2021·江苏南通如皋一抽测·22改编)已知函数,对于任意,当时,不等式 恒成立,则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性,构造新函数,直接转化为函数的单调性.
【解析】不等式可变形为,
即,当,且恒成立,
所以函数在上单调递减.

则在上恒成立,
即在上恒成立.
设,则.
因为当时,,
所以函数在上单调递减,
所以,
所以,
即实数的取值范围为.
例3 (2021·江苏南通如皋期末·12)已知是定义在上的奇函数,对任意两个不相等的正数,,都有,记,,,则,,的大小关系为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数
又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.
综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.
又,,,且
所以,即,故答案为:D.
【巩固训练】
1. 已知函数满足对任意,都有成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
3.若对?x1,x2∈(m,+∞),且x1注:(e为自然对数的底数,即e=2.718 28…)
A.eq \f(1,e) B.e C.1 D.eq \f(3,e)
4.(2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8)已知函数,对任意的,,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
5. (2021·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·8)已知是定义在上的奇函数,且,当,且时,成立,若对任意的恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.设函数是定义在上的奇函数,,若对任意两个不相等的正数都有,则不等式的解集为______.
7.已知,若对任意两个不等的正实数,,都有恒成立,则的取值范围是 .
【答案与提示】
1. 【答案】B
【解析】因为函数对任意,都有成立,所以函数在定义域内单调递减,所以.故选B.
2. 【答案】A
【分析】令,由可知在上单调递增,从而可得在上恒成立;通过分离变量可得,令,利用导数可求得,从而可得,解不等式求得结果.
【解析】由且得:
令,可知在上单调递增
在上恒成立,即:
令,则
时,,单调递减;时,,单调递增
,解得:
本题正确选项:
点评:
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题,关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式,从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题;解决恒成立问题常用的方法为分离变量,将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题,属于常考题型.
3.【答案】 C
【解析】 由题意,当0≤m由eq \f(x1ln x2-x2ln x1,x2-x1)<1,等价于x1ln x2-x2ln x1故x1(ln x2+1)令f(x)=eq \f(ln x+1,x),则f(x2)又∵x2>x1>m≥0,
故f(x)在(m,+∞)上单调递减,
又由f′(x)=eq \f(-ln x,x2),令f′(x)<0,解得x>1,
故f(x)在(1,+∞)上单调递减,故m≥1.
4. 【答案】B
【解析】因为,不妨设,则可化为,即

则恒成立,即对任意的,且时恒成立,即对任意的,且时恒成立
所以在R上单增
故在R上恒成立
所以,故
所以实数的取值范围是, 选B.
5. 【答案】B
【解析】令,则,成立,
则为单调增函数,
若对任意的恒成立,则,
即,即都有,
令,则,
∴,∴,故选B
6.【答案】
【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.
综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.
且.故即.
根据函数性质解得,故答案为:.
7.【答案】,
【解析】设,则,,
令,,
在上单调递减,,
,时,,.
的取值范围是,.故答案为:,.
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