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专题46 数列奇偶项问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用)
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专题46 数列奇偶项问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用)

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这是一份专题46 数列奇偶项问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题(选择题,填空题)(新高考地区专用),共7页。

定义 在数列中,若任意,存在且,都有( 为常数),则称数列是“隔项成等差”数列.
类型1 :
由,两式相减得,这就得到“隔项成等差”数列,特别的,当时,数列为周期数列.
类型2 :
由,两式相减得,这样,类型2就转化为类型1了,所不同的是不包含首项.
类型3 :
对赋值,有,通过加减可得,从而,所以,这就得到“隔项成等差”数列.
【典型题示例】
例1 数列满足,且.记数列的前项和为,则当取最大值时为
A.11B.12C.11或13D.12或13
【答案】
【解析】设,由,
可得,,,,,,,,
可得,可得,
则数列的奇数项为首项为,公差为1的等差数列;偶数项为首项为,公差为的等差数列,
且每隔两项的和为9,7,5,3,1,,,为递减,
可得,,,,,,
则当取最大值时或13.
例2 设数列的前项和为,已知,则 _______.
【答案】-2
【解析】由得,
两式相减得,
即,所以
两式相减得,
又将代入得,
所以.
例3 数列满足,前16项和为540,则 ______________.
【答案】
【分析】对为奇偶数分类讨论,分别得出奇数项,偶数项的递推关系,由奇数项递推公式将奇数项用表示,由偶数项递推公式得出偶数项的和,建立方程,求解即可得出结论.
【解析】,
当为奇数时,;当为偶数时,.
设数列前项和为,

.
点评:
本题综合考查数列的递推公式的应用,数列的并项求和,分类讨论思想和数学计算能力.
【巩固训练】
1.数列满足,则其前项和为________.
2.已知数列的前项和为,,,则 .
3. 设为数列的前n项和,则
(1)_____; (2) .
4.已知数列的前项和为,对任意,且
恒成立,则实数的取值范围是 .
5.各项均为正数的数列的前n项和为,且,则 .
6.设数列满足,数列前n 项和是,对任意的,,若,当n是偶数时,的表达式是___________.
7. 若数列满足,且数列的前项的和总满足(其中为常数),则数列的通项公式是 .
8. 若数列满足,且,若数列单调递增,则 的取值范围为 .
【答案与提示】
1.【答案】1830
【解析】由,可得,,,,
,,···,
所以,,,,,,···,
所以从第一项起,每四项的和构成以10为首项,16为公差的等差数列
所以前项和为.
2.【答案】
【提示】奇偶项分别成等差数列.
3.【答案】;
【解法一】∵ ∴当时,
两式相减得,即
当是偶数时,,所以,即是奇数时,;
当是奇数时,,,即当是偶数时,.

.
【解法二】∵ ∴
当是偶数时,,,即当是奇数时,;
当是奇数时,,,即当是偶数时,;
.
4.【答案】
【解析】当时,
当时,,所以
当为偶数时,;
当为奇数时,,即,.
所以.
当为偶数时,,当为奇数时,
又因为恒成立,,所以.
5.【答案】
【解析】∵ ∴()
两式相减得,即
又因为的各项均为正数,所以()
当时,由得,所以
故是以为首项,公差为的等差数列
∴.
6.【答案】
【解析】:,
因为,所以,即,所以数列中所有的奇数项成等比数列,所有的偶数项成等比数列,所以当n是偶数时,
的表达式是.
7.【答案】
8.【答案】
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