上传资料 赚现金
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(一)同步练习-2021-2022学年人教A版(2019)必修第一册学案
学案
加入资料篮8.5折
还剩5页未读, 继续阅读
下载需要5学贝
免费下载这份资料?
加入资料篮8.5折
立即下载

2021学年第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案

展开
这是一份2021学年第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案,共10页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.要得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x-\f(π,3)))的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )
A.向左平移eq \f(π,12)个单位 B.向右平移eq \f(π,12)个单位
C.向左平移eq \f(π,3)个单位 D.向右平移eq \f(π,3)个单位
2.将函数y=sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的图象对应的函数是( )
A.y=cs 2x B.y=1+cs 2x
C.y=1+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4))) D.y=cs 2x-1
3.为了得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))的图象,可以将函数y=cs 2x的图象( )
A.向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B.向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C.向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D.向左平移eq \f(π,3)个单位长度
4.为了得到y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,5)))(x∈R)的图象,只需把函数y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,5)))(x∈R)的图象上所有的点的( )
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍,横坐标不变
5.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,10))) B.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,5)))
C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x-\f(π,10))) D.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x-\f(π,20)))
6.把函数y=f(x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度,向下平移1个单位长度,然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sin x的图象,则y=f(x)的解析式为( )
A.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))+1 B.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,2)))+1
C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,4)))-1 D.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,2)))-1
7.由y=3sin x的图象变换得到y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,3)))的图象主要有两个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移________个单位长度,后者需向左平移________个单位长度.
8.函数f(x)=5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的?
关键能力综合练
一,选择题
1.函数y=cs x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cs ωx,则ω的值为( )
A.2 B.eq \f(1,2)
C.4 D.eq \f(1,4)
2.为了得到函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)+\f(π,6))),x∈R的图象,只需把函数y=2sin x,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移eq \f(π,6)个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
B.向右平移eq \f(π,6)个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
C.向左平移eq \f(π,6)个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移eq \f(π,6)个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
3.把函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位,所得图象对应的函数是( )
A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数 D.偶函数
4.要得到函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移eq \f(5π,12)个单位长度 B.向右平移eq \f(5π,12)个单位长度
C.向左平移eq \f(5π,6)个单位长度 D.向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
5.下列表示函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),π))上的简图正确的是( )
6.(易错题)把函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(7π,12)
C.eq \f(5π,6)或eq \f(π,6) D.eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12)
二,填空题
7.将函数y=sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度,得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象,则φ的值为________.
8.函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位,得到的图象关于直线x=eq \f(π,6)对称,则φ的最小值为________.
9.(探究题)给出下列六种图象变换的方法:
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的eq \f(1,2);
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度;
④图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度;
⑤图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度;
⑥图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度.
请用上述变换中的两种变换,将函数y=sin x的图象变换为函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,3)))的图象,那么这两种变换正确的标号是________(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可).
三,解答题
10.已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx-\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;
(3)函数f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?写出变换过程.
学科素养升级练
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.将y=cs x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位,得到y=sin x的图象;
B.将y=sin x的图象向右平移2个单位,可得到y=sin(x+2)的图象;
C.将y=sin(-x)的图象向左平移2个单位,得到y=sin(-x-2)的图象;
D.函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))的图象是由y=sin 2x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位而得到的.
2.要得到y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)+\f(π,3)))的图象,需将函数y=cseq \f(x,2)的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度.
3.(学科素养—逻辑推理)已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),\f(2π,3)))上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a答案
必备知识基础练
1.解析:由图象可知eq \f(T,4)=eq \f(7π,6)-eq \f(2π,3)=eq \f(π,2),所以T=2π,ω=eq \f(2π,T)=1.又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+φ))=0,且0<φ答案:B
2.解析:由图象知T=eq \f(2π,ω)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+\f(π,3)))=π,所以ω=2,2×eq \f(π,6)+φ=2kπ(k∈Z),又因为-eq \f(π,2)<φ答案:A
3.解析:由题图得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A+B=2,,-A+B=-4,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A=3,,B=-1.))
T=eq \f(2π,ω)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)+\f(2π,3)))=4π,∴ω=eq \f(1,2).
又eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)+φ=eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z,φ=-eq \f(π,6)+2kπ,k∈Z,
又|φ|答案:C
4.解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度,所得到的图象对应函数的解析式为y=2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),由2x+eq \f(π,6)=eq \f(π,2)+kπ,k∈Z,得x=eq \f(π,6)+eq \f(1,2)kπ,k∈Z.
答案:B
5.解析:依题意得3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8π,3)+φ))=0,eq \f(8π,3)+φ=kπ+eq \f(π,2),φ=kπ-eq \f(13π,6)(k∈Z),因此|φ|的最小值是eq \f(π,6).
答案:A
6.解析:将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移eq \f(π,8)个单位后,得到y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+φ+\f(π,4)))的图象,因为它是偶函数,所以φ+eq \f(π,4)=eq \f(π,2)+kπ,k∈Z,即φ=eq \f(π,4)+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=eq \f(π,4).
答案:B
7.解析:(1)由图象知,A=eq \r(2),eq \f(T,4)=eq \f(7,2)-2=eq \f(3,2),T=6,
ω=eq \f(2π,T)=eq \f(π,3),故f(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x+φ)).
又由f(x)的图象过点(2,0),得eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+φ))=0,
所以eq \f(2π,3)+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-eq \f(2π,3),k∈Z,
又因为|φ|故f(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x+\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期为6,
f(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x+\f(π,3))).
(2)由题意,得
g(x)=eq \r(2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))+\f(π,3)))=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x-\f(π,6))).
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),1)),得eq \f(π,3)x-eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(2π,3),\f(π,6))).
故当eq \f(π,3)x-eq \f(π,6)=eq \f(π,6),即x=1时,g(x)取得最大值,且g(x)max=eq \f(\r(2),2);
当eq \f(π,3)x-eq \f(π,6)=-eq \f(π,2),即x=-1时,g(x)取得最小值,且g(x)min=-eq \r(2).
关键能力综合练
1.解析:由图知T=4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)+\f(π,6)))=π,∴ω=eq \f(2π,T)=2.又x=eq \f(π,12)时,y=1,经验证,可得D项解析式符合题目要求.
答案:D
2.解析:由已知得eq \f(2π,ω)=2×eq \f(π,2),故ω=2.
y=cs 2x向右平移eq \f(π,12)个单位长度可得
y=cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))的图象.
答案:A
3.解析:由题意知eq \f(π,3)-eq \f(π,12)≥eq \f(T,4),故T=eq \f(2π,ω)≤π,ω≥2.
答案:A
4.解析:由图象可知A=2,φ=2kπ,k∈Z,T=8,
∴eq \f(2π,ω)=8,即ω=eq \f(π,4),∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x)).
∵周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sineq \f(π,4)+2sineq \f(π,2)+2sineq \f(3π,4)+2sin π+2sineq \f(5π,4)+2sineq \f(3π,2)=eq \r(2).
答案:A
5.解析:由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(π,6)ω+φ=kπ?k∈Z?①,,m=2,))且函数的最小正周期T=4×eq \f(π,2)=2π,故ω=eq \f(2π,T)=1.代入①式得φ=kπ+eq \f(π,6)(k∈Z).又|φ|答案:D
6.解析:当a=0时,f(x)=1,C符合,当0<|a|<1时,T>2π,且最小值为正数,A符合,当|a|>1时,T<2π,且最小值为负数,B符合,排除A,B,C.D项中,由振幅得a>1,∴T<2π,而由图象知T>2π矛盾,故选D.
答案:D
7.解析:由4x+eq \f(2π,3)=kπ,k∈Z,得x=-eq \f(π,6)+eq \f(kπ,4),k∈Z,所以当k=1时,x=eq \f(π,4)-eq \f(π,6)=eq \f(π,12),即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12),0))离原点最近.
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12),0))
8.解析:①当x=eq \f(π,3)时,函数的值为3.②当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,-eq \f(π,6)≤2x-eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6),
所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),3)).
答案:x=eq \f(π,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),3))
9.解析:对于①,由f(x)=0,可得2x+eq \f(π,3)=kπ(k∈Z).
∴x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,6),∴x1-x2是eq \f(π,2)的整数倍,∴①错误;
对于②,f(x)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))利用公式得:
f(x)=4cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))))=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),∴②正确;
对于③,f(x)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))的对称中心满足2x+eq \f(π,3)=kπ,k∈Z,∴x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,6),k∈Z.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0))是函数y=f(x)的一个对称中心,∴③正确;
对于④,函数y=f(x)的对称轴满足2x+eq \f(π,3)=eq \f(π,2)+kπ,k∈Z.
∴x=eq \f(π,12)+eq \f(kπ,2),k∈Z,∴④错误.
答案:②③
10.解析:(1)由题意作出f(x)的简图如图.
由图象知A=2,由eq \f(T,2)=2π,得T=4π,
∴4π=eq \f(2π,ω),即ω=eq \f(1,2),∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+φ)),
∴f(0)=2sin φ=1,
又∵|φ|∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6))).
∵f(x0)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x0+\f(π,6)))=2,
∴eq \f(1,2)x0+eq \f(π,6)=eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z.
∴x0=4kπ+eq \f(2π,3),k∈Z,
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,∴x0=eq \f(2π,3).
(2)由-eq \f(π,2)+2kπ≤eq \f(1,2)x+eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z,
得-eq \f(4π,3)+4kπ≤x≤eq \f(2π,3)+4kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4π,3)+4kπ,\f(2π,3)+4kπ))(k∈Z).
(3)∵-π≤x≤π,∴-eq \f(π,3)≤eq \f(1,2)x+eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3),
∴-eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x+\f(π,6)))≤1,∴-eq \r(3)≤f(x)≤2,
故f(x)的值域为[-eq \r(3),2].
学科素养升级练
1.解析:f(x)=sin 2x-2sin2x+1-1=sin 2x+cs 2x-1=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))-1.
对于A:因为ω=2,则f(x)的最小正周期T=π,结论正确.
对于B:当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(5π,8)))时,2x+eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))),则sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2)))上是减函数,结论正确.
对于C:因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,8)))=-1,得到函数f(x)图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,8),-1)),结论不正确.
对于D:函数f(x)的图象可由函数y=eq \r(2)sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位,再向下平移1个单位得到,结论不正确.
故正确结论有A,B,故选A,B.
答案:AB
2.解析:依题意知f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,3)))(ω>0),feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))上有最小值,无最大值,∴f(x)图象关于直线x=eq \f(\f(π,6)+\f(π,3),2)对称,
即关于直线x=eq \f(π,4)对称,且eq \f(π,3)-eq \f(π,6)∴eq \f(π,4)·ω+eq \f(π,3)=eq \f(3π,2)+2kπ,k∈Z,且0<ω<12,∴ω=eq \f(14,3).
答案:eq \f(14,3)
3.解析:作出函数y=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))在区间(0,2π)上的图象如图所示.
(1)若方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=m在区间(0,2π)内有两相异实根α,β,则y=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的图象与y=m有两个相异的交点.观察图象知,当-eq \r(2)<m<eq \r(2)且m≠1时有两个相异的交点,即方程eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=m在区间(0,2π)内有两个相异实根,故实数m的取值范围为(-eq \r(2),1)∪(1,eq \r(2)).
(2)当m∈(-eq \r(2),1)时,由图象易知两交点关于直线x=eq \f(5π,4)对称,
∴eq \f(α+β,2)=eq \f(5π,4),α+β=eq \f(5π,2).
当m∈(1,eq \r(2))时,由图象易知两交点关于直线x=eq \f(π,4)对称,
∴eq \f(α+β,2)=eq \f(π,4),α+β=eq \f(π,2),故α+β的值为eq \f(5π,2)或eq \f(π,2).
知识点一
平移变换
知识点二
伸缩变换
知识点三
图象变换的综合应用
相关学案

数学人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案及答案: 这是一份数学人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案及答案,共9页。

人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)优秀学案: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)优秀学案,共20页。

高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案及答案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案及答案,共11页。

免费资料下载额度不足,请先充值

每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

提示

您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

重新选择
明天再来
个人账户下载
下载确认
您当前为云校通用户,下载免费
下载需要:
本次下载:免费
账户余额:0 学贝
首次下载后15天内可免费重复下载
立即下载
  • 充值下载
  • 扫码直接下载
  • 下载需要:0 学贝 账户剩余:0 学贝
    详情 活动剩余时间:30:00.0
    学贝可用于下载龙8游戏登录 400万 精选资源 ,今日更新资源 3130
  • 详情
    邀请好友助力,免费下载这份资料

    下载成功,按 Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

    若下载不成功,可重新下载,或查看资料下载帮助

    本次下载资源上传者 [.] 获得现金收益 + 0.25元

    我也想赚收益

    95%的老师还下载了以下成套资源

    欢迎来到龙8游戏登录

    • 400万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字,字母或符号

    注册即视为同意龙8游戏登录「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    免费下载当前资料

    当前资料价值0元 下载需支付0学贝,您可以通过以下途径免费下载

    方式一:邀请好友助力免费下载

    邀请 0 名好友关注我们即可免费下载

    微信扫一扫,将专属邀请图片发送给好友并关注我们,每任意邀请1人关注龙8游戏登录即可获得5学贝奖励,奖励秒到账,多邀多得无上限,在个人中心可查看学贝明细

    方式二:上传文档换学贝免费下载

    上传平时上课时使用的课件,教案,试卷资源换取学贝即可免费下载当前资料,还可获取现金收益哦~了解详情>>

    返回
    顶部
    Baidu