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专题8.62抛物线及其性质(二)(解析版)教案
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专题8.62抛物线及其性质(二)(解析版)教案

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这是一份专题8.62抛物线及其性质(二)(解析版)教案,共8页。

1.理解抛物线的定义及其标准方程;
2.理解抛物线的基本性质;
3.会解焦点弦和中点弦有关的简单问题。
教学过程
(一)必备知识:
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F ?______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.
2.抛物线的标准方程及几何性质
3.抛物线的一些常用结论:
(1)过抛物线焦点的弦与抛物线交于,则焦半径 , ,焦点弦长为 ;过抛物线焦点的弦与抛物线交于,则焦半径 , ,焦点弦长为 .
(2)若抛物线焦准距为且过抛物线焦点的弦与抛物线交于,则 .
(3)以抛物线上的点和焦点为直径两端点的圆必与轴 ,以抛物线上的点和焦点为直径两端点的圆必与 相切,而以抛物线焦点弦为直径的圆必与 相切.
(4)若过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,则,若直线斜率为,为中点,则.
自查自纠:
1.l 焦点 准线
2.①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0))③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(p,2)))⑥x=eq \f(p,2) ⑧y=eq \f(p,2) ⑩x≤0,y∈R ?y≥0,x∈R ?x轴 ?e=1?向右?向下
3. (1), , ;, , ;(2)(3)相切,轴,准线
(二)题组训练:
题组一:
例1.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
【详解】::∵F是抛物线y2=x的焦点,F(,0)准线方程x=?,设A,B, |AF|=,|BF|=,∴|AF|+|BF|=解得,∴线段AB的中点横坐标为,∴线段AB的中点到y轴的距离为.
例2.已知直线过抛物线焦点且与抛物线相交于A,B两点.若线段AB的中点为,则________.
【答案】10
例3.已知抛物线 的顶点坐标为原点,焦点在 轴上,直线 与抛物线 交于 两点.若 为线段 的中点,则抛物线 的方程为________________.
【答案】
课堂练习:
1.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【详解】由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4,设A,B两点到准线的距离分别为,
由抛物线的定义知:|AB|=|AF|+|BF|= =2×4=8
3.已知点是抛物线的焦点,是该抛物线上两点,,则中点的横坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设点坐标分别为,抛物线的准线方程为,由抛物线定义有,,所以,,,选B.
题组二:
例1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,交其准线于点,若且,则中点坐标为 .
【答案】
【详解】如图,过作垂直准线于,过作垂直准线于,记准线与轴的交点为.由抛物线定义知,故,所以,即,解得,所以,代入即得答案,再求出直线方程,联立方程用韦达定理可解.
另法:焦点弦三段线方法。
例2.如图,已知抛物线焦点为,直线与抛物线交于两点,则.
【答案】
课堂练习:
1.直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.∵|AF|=4,,∴|AE|=4,|CB|=3|BF|,
且|BF|=|BD|,设|BF|=|BD|=a,则|BC|=3a,根据三角形的相似性可得,即,解得a=2,∴,即,∴
2.己知直线的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点, 若=2,则|k|=( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
【详解】根据抛物线过焦点弦的结论得,又因为,所以,,则弦长,又弦长(为直线的倾斜角),所以,则,,即,所以,故选A.
3.已知抛物线C:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与C的一个交点.若,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设Q到l的距离为d,则|QF|=d,∵,∴|PQ|=3d,∴直线PF的斜率为-2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3
4.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一,四象限分别交于两点,则的值等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【详解】设A ,B ,则又 ,可得 ,则.
5.已知抛物线的焦点为,为抛物线上两点,若,为坐标原点,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】抛物线的焦点为,设所在直线为且,,,联立,消去得,根据韦达定理得①,由,可得②,联立①②解得,所以.
6.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与轴交点为,点在抛物线上且,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】双曲线的右焦点为,所以,抛物线方程为,准线方程为,所以,过点作准线,垂足为,则,所以,因此,,所以,故选C.
7.已知点A,抛物线C:的焦点F.射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则=( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),定点A(2,0),∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y轴的交点P,则FM:MN=FP:FN,又F(0,1),A(2,0),∴直线FA为:x+2y-2=0,
当y=-1时,x=4,即N(4,-1),,=.
8.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由于点在抛物线C:的准线上,所以,
设直线AB的方程为,将与联立,即,则(负值舍去),
将k=2代入得y=8,即可求出x=8,故B(8,8),所以,故选D.
强化培优:
1.设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则ΔBCF与ΔACF的面积之比是( )
A.|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+1
【答案】A
【详解】,故选A.
2.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16B.14C.12D.10
【答案】A
【详解】设,直线的方程为,联立方程,得,∴,同理直线与抛物线的交点满足,由抛物线定义可知
,当且仅当(或)时,取等号.
另法:设直线的倾斜角为,则,则,所以.
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
性质
焦点

②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(p,2),0))

④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(p,2)))
准线
⑤x=-eq \f(p,2)

⑦y=-eq \f(p,2)

范围
⑨x≥0,y∈R

?
?y≤0,x∈R
对称轴
?
?y轴
顶点
?原点O(0,0)
离心率
?
开口
?
?向左
?向上
?
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