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一轮复习专题8.45椭圆及其性质(五)(解析版)教案
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一轮复习专题8.45椭圆及其性质(五)(解析版)教案

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这是一份一轮复习专题8.45椭圆及其性质(五)(解析版)教案,共18页。教案主要包含了题组训练等内容,欢迎下载使用。

1.理解椭圆的定义及其标准方程,并会求椭圆标准方程;
2.掌握椭圆的基本性质;
3.掌握求椭圆离心率的基本方法。
教学过程
(一)必备知识:
1.椭圆的定义
(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫做椭圆的________.
※(2)椭圆第二定义(见人教A版教材选修1-1 P41例6,P43):平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0<e<1)的轨迹叫做椭圆.定点F叫做椭圆的一个焦点,定直线l叫做椭圆的一条准线,常数e叫做椭圆的__________.
2.椭圆的标准方程及几何性质
自查自纠:1.(1)> 焦点 焦距 (2)离心率
2.(2)eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0) (5)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
(7)F1(-c,0),F2(c,0) (9)e=eq \f(c,a)(0<e<1)
二,题组训练:
题组一:
例1.已知椭圆:的两个焦点为,,若椭圆上存在点使得为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】如图,当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点移动时,对两个焦点的张角逐渐增大,当且仅当点位于短轴端点时,张角达到最大.所以要使椭圆上存在点使得为钝角,根据椭圆的对称性可知,即,,即,所以又,所以选B.
例2.已知是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,若是锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意可知,,即,两边除以得,解得.
例3.椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率的最大值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】B
【详解】因为关于原点对称,所以也在椭圆上,设左焦点为,则,又因为,所以,是直角三角形斜边的中点,所以,,所以,所以,,所以,故e的最大值为.
例4.已知,是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设椭圆的半长轴,半短轴,半焦距分别为.因为所以点M的轨迹为以原点为圆心,半径为的圆.与因为点M在椭圆的内部,所以,所以,所以 ,所以 ,故选C.
练习:
1.已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大,∴,∴,
∴,∵,∴,∴所求取值范围为.
2.已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上存在点使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,对两个焦点的张角渐渐增大,当且仅当点位于短轴端点处时,张角达到最大值.∵椭圆上存在点使得是钝角,∴中,,∴ 中,,∴,∴,∴,∴,∵,∴.椭圆离心率的取值范围是,故选B.
3.已知椭圆,点,是长轴的两个端点,若椭圆上存在点,使得,则该椭圆的离心率的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设M为椭圆短轴一端点,则由题意得,即,因为,所以,.
4.椭圆,点,为椭圆的左,右焦点,在椭圆上存在点,点在以原点为圆心,为半径的圆上,则椭圆的离心率取值范围是( )
A.B.C. D.
【答案】B
【详解】由题知在以原点为圆心,为半径的圆上,所以,因为,
,所以.故选:B.
5.已知椭圆上有一点,它关于原点的对称点为,点为椭圆的右焦点,且,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】如图所示:设椭圆的左焦点为,连接,,则四边形为矩形,因此,,,,,,,,,,.故选:A.
6.在平面直角坐标系中,点为椭圆:的下顶点,,在椭圆上,若四边形为平行四边形,为直线的倾斜角,若,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】因为是平行四边形,因此且,故,代入椭圆方程可得,所以.因,所以即,
所以即,解得,故选A.
7.已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点,过作圆的切线,,切点为,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在满足条件的点P,则只需,即,,解得,,即,又,即椭圆的离心率的取值范围是.
题组二:
例1.已知椭圆的右焦点为,短轴的一个端点为,直线与椭圆相交于,两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设椭圆的左焦点为,为短轴的上端点,连接,如下图所示:
由椭圆的对称性可知,关于原点对称,则又 四边形为平行四边形 又,解得:,点到直线距离:,解得:,即 选
例2.已知椭圆,直线与椭圆相交于,两点,若椭圆上存在异于,两点的点使得,则离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】设P(),直线y=x过原点,由椭圆的对称性设
又两式做差,代入上式得,故,所以 故选B
例3.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点Q(c,)在椭圆的外部,点P是椭圆C上的动点,且恒成立,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】点Q(c,)在椭圆的外部,所以,即a2>2b2,所以e=,
由恒成立,|PF1|+|PQ|=2a+|PQ|-|PF2|≤2a+|QF2|=2a+<3c,
即a<,所以.又e<1,故选C.
练习:
1.已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】由椭圆定义可知:,,则,所以,因为,即,
,即..
2.已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设是椭圆的左焦点,由于直线过原点,因此两点关于原点对称,从而是平行四边形,所以,即,,设,则,所以,,即,又,所以,.故选A.
3.已知为椭圆的两个焦点,为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】根据题意得,因为,所以 ,又因为 ,所以,所以.
4.设椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设椭圆左焦点为,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形,又,即FA⊥FB,故平行四边形AFBF′为矩形,所以|AB|=|FF′|=2c.设|AF′|=n,|AF|=m,则在Rt△ F′AF中,m+n=2a ①,m2+n2=4c2 ②,联立①②得mn=2b2 ③.
②÷③得,令=t,得t+.又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得=t∈[1,2],所以t+∈.故椭圆C的离心率的取值范围是.故选:A
题组三:
例1.椭圆中心为原点,且焦点在轴上,为椭圆的右顶点,为椭圆上一点,,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】设椭圆的方程为,点,即有.因为,所以即,又点在椭圆上,有,联立解得,而,∴即.故,又,∴.故选:B.
例2.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设,所以,选C.
练习:
1.已知椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得中,,则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0,-1)B.C. D.(-1,1)
【答案】D
【详解】由正弦定理可得:,结合题意可得,所以,根据椭圆的定义可得,所以,,易知.因为为椭圆上一点,所以,即,整理得,所以,解得.故选D.
2.已知椭圆(),,为椭圆上的两点,线段的垂直平分线交轴于点,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设,的坐标分别为 和.因线段的垂直平分线与轴相交,故不平行于轴,即.又交点为,故,即①
∵,在椭圆上, ∴ . 将上式代入①,得② ∵,可得③.
∵,且,∴, ∴,
∴,所以椭圆的离心率的取值范围是.故选:C.
题组四:
例1.已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以,为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设关于直线的对称点为,则,解之得,即,因是定值,故当最小时椭圆的离心率最大.由于(当且仅当共线时取等号),即,则,故应选A
例2.椭圆上有一点,,分别为椭圆的左,右焦点,椭圆内一点在线段的延长线上,且,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】∵QF1⊥ QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,∴c<b;∴c2<a2﹣c2,∴,故0<e∵sin∠ F1PQ,∴cs∠ F1PQ;设|PF1|=m,则|PF2|=n,而|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得 4c2.∴4c2=(m+n)2﹣2mn﹣2mn?;即4c2=4a2mn;∴mn;由基本不等式得:mna2,当且仅当m=n时取等号;由题意知:QF1⊥QP,∴m≠n,∴mna2,∴a2∴a2<26c2;故,∴e综上可得:e.
练习:
1.设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】记椭圆的左焦点为,则,即,,,即,即 ,椭圆的离心率的取值范围是,故选A.
2.已知椭圆的左,右焦点分别为,若在直线上存在点使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】因为直线上存在点使线段的中垂线过点,所以,根据中垂线的性质以及直角三角形的性质可得,,,又因为 ,椭圆离心率的取值范围是,故选B.
课外作业:
1.已知分别是椭圆的左,右焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由椭圆上存在点,使可得以原点为圆心,以c为半径的圆与椭圆有公共点,∴,∴,∴∴。由,∴.
2.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】由题意得,所以A在圆上,与联立解得,因为,且,所以
因此,解得
即,即,选A.
3.已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:交椭圆于,两点,若,点与直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】可设为椭圆的左焦点,连接,根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形,,,取,点到直线的距离不小于,所以,,解得,椭圆的离心率的取值范围是.
4.椭圆的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由椭圆方程可知 , ,离心率最小值为
5.已知椭圆的左,右焦点分别为,若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】①当点与短轴的顶点重合时,构成以为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰 ②当构成以为一腰的等腰三角形时,根据椭圆的对称性,只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可,则或 当时,则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点),则,因此,即,则 当时,则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点),即,则,综上所述,所求取值范围是选D
6.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系,如图所示,底面半径为1,高为3的圆柱内放有一个半径为1的球,球与圆柱下底而相切,作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点,若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线,是以为一个焦点的椭圆,则的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】当与底面趋于平行时,几乎成为一个圆,因此离心率可以充分接近0.当与底面的夹角最大时,的离心率达到最大,下面求解这一最大值.如图,为长轴,为焦点时,最大.,易知,所以,.则离心率的取值范围是.故选:B
7.已知点为坐标原点,点是椭圆:的左焦点,点,,分别为椭圆的左,右顶点和上顶点.点为椭圆上一点,且轴,直线交线段于点,若直线交线段于点,且,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】如图可知:∽,,
,由,
又.
8.已知椭圆的左焦点为,左,右顶点分别为,上顶点为.过作圆,其中圆心的坐标为.当时,椭圆离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】如图所示,线段的垂直平分线为:,线段的中点.
∵,∴线段的垂直平分线的斜率.∴线段的垂直平分线方程为,
把代入上述方程可得.∵,
∴.化为:,又,解得.
∴.故选:A.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形
(2)标准方程
eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
(3)范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-a≤y≤a,-b≤x≤b
(4)中心
原点O(0,0)
(5)顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
(6)对称轴
x轴,y轴
(7)焦点
F1(0,-c),F2(0,c)
(8)焦距
2c=2eq \r(a2-b2)
(9)离心率
※(10)准线
x=±eq \f(a2,c)
y=±eq \f(a2,c)
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