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2022届高中数学新人教A版必修第一册 1.1.1 集合的含义 教案
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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教案设计

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教案设计,共9页。教案主要包含了素养目标,通法提炼,变式训练1,变式训练2,变式训练3,变式训练4等内容,欢迎下载使用。

1.1集合的概念
【素养目标】
1.通过实例,能说出集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
2.记住集合元素的特性以及常用数集;
3.会用集合元素的特性解决相关问题.
【重点】
用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系;用集合元素的特性解答相关问题.
【难点】
集合元素特性的应用.
1.1.1 集合的含义
要点整合夯基础
基础知识
知识点一元素与集合的含义
思考1:以下对象的全体能否构成集合?
(1)河北《红对勾》书业的员工;
(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手;
(3)一次函数的图象上的若干个点;
(4)不超过的非负数.
提示:(1)能构成集合.河北《红对勾》书业的员工是确定的,因此有一个明确的标准,可以确定出来.所以能构成一个集合.
(2)“滑得很快”无明确的标准,对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断,因此,“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合.
(3)“若干个点”是模糊的概念,因此与之对应的对象都是不确定的,自然它们不能构成集合,故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合.
(4)任给一个实数,可以明确地判断是不是“不超过的非负数”,即“”与“或”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过的非负数”能构成一个集合.
思考2:若集合由,与三个元素组成,则的取值有限制吗?为什么?
提示:有限制,且.因为集合中的任意两个元素必须是互异的.
知识点二 元素与集合的关系
如果是集合中的元素,就说属于(belng t)集合,记作;如果不是集合中的元素,就说不属于(nt belng t)集合,记作.
思考3:若集合是由元素,,,所组成的集合,问与,与有什么关系?
提示:,.
知识点三 常用数集及表示
思考4:常用的数集符号,,有什么区别?
提示:(1)为非负整数集(即自然数集),而或表示正整数集,不同之处就是包括元素,而或不包括元素.
(2)和的含义是一样的,初学者往往误记为或,为避免出错,对于和可形象地记为“星星()在天上,十字架(+)在地下”.
思考5:用符号“”或“”填空.
(1);(2);(3);
(4);(5).
典例讲练破题型
题型探究
类型一 集合的概念
【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______.
(1)所有的正三角形;
(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题;
(3)比较接近的正数全体;
(4)某校高一年级的岁以下的学生;
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于的点的集合;
(6)参加里约奥运会的年轻运动员.
【解析】(1)能构成集合.其中的元素需满足三条边相等;
(2)不能构成集合.因“难题”的标准是模糊的,不确定的,故不能构成集合;
(3)不能构成集合.因“比较接近”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;
(4)能构成集合.其中的元素是“岁以下的学生”;
(5)能构成集合.其中的元素是“到坐标原点的距离等于的点”;
(6)不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的,不确定的,故而不能构成集合.
【通法提炼】
判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以.
【变式训练1】下列对象能组成集合的是( )
A.的所有近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.年全国高考数学试卷中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员
【解析】D中的对象都是确定的,而且是不同的.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C都不能构成集合.
类型二 集合中元素的特性
命题视角1:集合元素的互异性
【例2】已知集合中含有两个元素和,若,求实数的值.
【分析】本题中已知集合中有两个元素且,根据集合中元素的特点需分或两种情况讨论,另外还要注意集合中元素的互异性.
根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,利用集合中元素的特性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
【解析】若,则或,即.
当时,,集合有一个元素,∴.
当时,集合含有两个元素,,符合互异性.
∴.
【通法提炼】
当一个集合中的元素含字母时,可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.
【变式训练2】(1)若集合中的三个元素是的三边长,则一定不是( D )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
(2)由,,组成一个集合,且集合中含有个元素,则实数的取值可以是( C )
A.B.
C.D.
【解析】(1)集合中任何两个元素不相同.
(2)由题意知,,,解得,且.结合选项知C正确.故选C
命题视角2:集合元素的无序性
【例3】集合中含有三个元素,,,集合中含有三个元素,,,若,两个集合相等,求的值.
【分析】由两个集合相等,所含元素相同列出,的关系式,解出与,再求的值.
【解析】由两个集合相等易知,,故,且或.
若,由得,经验证,符合题意;
若,则,结合,可知,不符合题意.
综上知,.
所以.
【通法提炼】
两个集合相等,元素相同,因为集合元素无序,所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证,注意集合中元素的互异性.
【变式训练3】集合由,,,四个元素组成,已知实数,,那么的不同值有( B )
A.个B.个C.个D.个
【解析】,是集合的元素,的值会因,的顺序不同而不同.,所取的值按顺序分别为:,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,;,,其对应的有个不同的值.
类型三 元素与集合的关系
【例4】(1)给出下列关系:①;②;③;④;⑤.
其中正确的个数为( B )
A. B.C. D.
(2)集合中的元素满足,,则集合中的元素为________.
【解析】(1)是实数;是无理数;是自然数;是无理数;是自然数.故①②正确,③④⑤不正确.
(2)由,知,,且,故.又,故.
当时,,当时,,
当时,.故集合中的元素为.
【通法提炼】
判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“”与“”只表示元素与集合的关系.
【变式训练4】已知不等式的解集为.
(1)试判断元素,与集合的关系;
(2)若是集合中的元素,求的取值范围.
【解析】(1)∵,∴不是集合中的元素,∴.
又,∴是集合中的元素,∴.
(2)∵,∴.∴,∴.
课堂达标练经典
1.下列各组对象不能构成集合的是(B)
A.某中学所有身高超过米的大个子
B.约等于的实数
C.某市全体中学生
D.北京大学建校以来的所有毕业生
【解析】由于“约等于”没有一个明确的标准,因此B中对象不能构成集合.
2.下列命题中,正确命题的个数是(C )
①集合中最小的数是;②若,则;
③若,,则的最小值是;④的解集是.
A. B. C. D.
【解析】是正整数集,最小的正整数是,故①正确;当时,,,故②错误;若,则的最小值是,同理,,的最小值也是,∴当和都取最小值时,取最小值,故③正确;由集合中元素的互异性,知④是错误的.
3.已知,是非零实数,代数式的值组成的集合是,则下列判断正确的是( B )
A.B.C.D.
【解析】当,全为正数时,代数式的值是;当,全是负数时,代数式的值是;当,是一正一负时,代数式的值是.综上可知B正确.
4.集合由元素和构成,集合是方程的解,若,则____.
【解析】∵,∴方程的解是或.
∴,,∴.
5.已知集合由,两个元素构成,若,求的值.
【解析】∵,∴或.
①若,则或.
当时,,此时集合中含有两个,因此应舍去.
当时,,满足题意.
②若,则或(舍去).
当时,,满足题意.
综上可知或.
课时作业
A组 素养自测
一,选择题
1.下列各组对象能组成一个集合的是( C )
①某中学高一年级所有聪明的学生;②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于的正整数;④的所有近似值.
A.①②B.③④
C.②③D.①③
【解析】①④不符合集合中元素的确定性.故选C.
2.若集合只含有元素,则下列各式正确的是( C )
A.B.
C.D.
【解析】由题意知中只有一个元素,∴,,元素与集合的关系不应该用“=”,故选C.
3.若以方程和的解为元素组成集合,则中元素的个数为( C )
A.B.C.D.
【解析】方程的解为或,的解为或,所以集合中含有个元素.
4.由实数,,,,所组成的集合,其含有元素的个数最多为( A )
A.B.C.D.
【解析】∵,,故当时,这几个实数均为;当时,它们分别是,,,,;当,它们分别是,,,,.最多表示个不同的数,故集合中的元素最多为个.
5.设,且,则的值可能是( B )
A.B.
C.D.或
【解析】∵,∴排除C;,而无意义,排除A,D,故选B.
6.如果集合中含有三个元素,,,若,且,那么为( B )
A.B.或
C.D.
【解析】∵,∴当时,,∴;当时,,∴;当时,,∴,故或.
二,填空题
7.设表示“中国所有省会城市”组成的集合,则深圳____A,广州____A(填“”或“”).
【解析】深圳不是省会城市,而广州是广东省的省会.
8.设直线上的点集为,点与点集的关系为____(填“”或“”).
【解析】直线上的点的横坐标和纵坐标满足关系:,即只要具备此关系的点就在直线上.由于当时,,∴.
9.已知集合含有三个元素,,,若,则实数的值为____.
【解析】因为,所以或或,
解得,,.经检验,只有时,满足集合元素的互异性.
三,解答题
10.记方程的解构成的集合为,若,试写出集合中的所有元素.
【解析】因为,所以,解得.解方程,即,得或.故含有两个元素,.
11.由,,组成的集合与由,,组成的集合是同一个集合,求的值.
【解析】由,,组成一个集合,可知,,由题意可得,即,此时两集合中的元素分别为,,和,,,因此,解得或(不满足集合中元素的互异性,舍去),因此,且,所以.
B组 素养提升
一,选择题
1.如果,,,为集合的四个元素,那么以,,,为边长构成的四边形可能是( D )
A.矩形B.平行四边形
C.菱形D.梯形
【解析】由于集合中的元素具有“互异性”,故,,,四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等.
2.已知集合是由,,三个元素组成的集合,且,则实数的值为( B )
A.B.
C.或D.或或
【解析】因为,所以,或,解得或.又集合中的元素要满足互异性,对的所有取值进行一一检验可得,故选B.
3.(多选题)已知集合中元素满足,,则下列表示正确的是( BC )
A.B.
C.D.
【解析】令,解得,,∴;
令,
解得,,∴;
∵,∴;
令,解得,,
∴.故选BC.
4.已知,都是非零实数,可能的取值组成的集合为,则下列判断正确的是( B )
A.,B.,
C.,D.,
【解析】当,时,;
当,时,;
当,时,;
当,时,.
所以,.故选B.
二,填空题
5.用适当的符号填空:
已知,,则____;____;____.
【解析】令,得,,所以;令,得,,所以;令,得,,所以.
6.若,且集合中只含有一个元素,则的值为 ____.
【解析】由题意,得,
∴且,∴.
7.(2019·江苏泰州期末)集合中含有两个元素和,集合中含有两个元素和,若,相等,则实数的值为____,的值为____.
【解析】因为集合,相等,所以或.
①当时,,此时集合中的两个元素为和,不满足集合中元素的互异性,故舍去;
②当时,,解得或,由①知应舍去,经检验,符合题意,
综上可知,,.
三,解答题
8.已知集合中含有两个元素和.
(1)若是集合中的元素,试求实数的值;
(2)能否为集合中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为是集合中的元素,
所以或.
若,则,
此时集合含有两个元素,,符合要求;
若,则,
此时集合中含有两个元素,,符合要求.
综上所述,满足题意的实数的值为或.
(2)不能.理由:若为集合中的元素,则或.
当时,解得,此时,显然不满足集合中元素的互异性;
当时,解得,此时显然不满足集合中元素的互异性.
综上,不能为集合中的元素.
9.已知集合.
(1)试分别判断,,与集合的关系;
(2)设,证明:.
【解析】(1),因为,所以;
,因为,但,所以;
,因为,所以.
(2)因为,所以可设,,且,
所以

因为,,所以.
课堂小结
本课堂需掌握的三个问题:
1.理解集合的概念,关键是抓住集合中元素的三个特性:确定性,互异性和无序性.特别是处理含有参数的集合问题时,一定要注意集合中元素的互异性,即在求出参数的取值或取值范围后,一定要检验集合中元素的互异性.
2.关于特定集合,,,,等的意义是约定俗成的,解题时作为已知使用,不必重述它们的意义.
3.对于一个元素与一个集合而言,只有“”与“”这两种结果,“”与“”具有方向性,左边是元素,右边是集合.定义
元素
一般地,我们把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母,,,…表示.
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母,,,…表示.
集合相等
指构成两个集合的元素是一样的.
集合中元素的特性:
确定性,互异性和无序性
名称
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

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