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24.2 直角三角形的性质- 2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义(华师大版)学案
学案
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初中数学华师大版九年级上册24.2直角三角形的性质学案设计

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目标导航
1,掌握直角三角形的性质及其推论
2,能利用直角三角形的性质定理及其推论进行有关的计算和证明。
3,经历“实践(动手操作)—探索—发现—猜想—证明”的过程,培养学生的数形结合思想方法和数学建模能力,体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用。
知识精讲

知识点01 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系
【微点拨】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
【即学即练1】
探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。
探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。
实验探究操作步骤:
= 1 \* GB3 ①把矩形ABCD图片的两条对角线画出来;
②沿着对角线剪去图形的一半,得到一个直角三角形;
③观察这个直角三角形,找出发现归纳结论。
提出猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
证明猜想 已知:如图在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BO是斜边AC上的中线.
求证:BO=AC
证明:延长BO至点D,使BO=DO,连结CD,AD
∵ BO是斜边AC上的中线
∴ AO=CO 又∵BO=DO
所以四边形ABCD是平行四边形
又∵∠ABC=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
∴ AC=BD
∴BO=BD=AC
A
D
O

C
B

归纳结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【试一试】:能不能用直角三角的性质3去解决问题1呢?
探究2 直角三角形中30角所对的直角边与斜边的关系。
实验探究操作步骤:
准备好两个全等的含30角的直角三角形;
把相等的边拼在一起组成平面图形;
思考有几种拼法?将你的结论归纳总结。
得出猜想:直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半.
证明猜想:已知:如图 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证:BC=AB
证明:作斜边AB上的中线CD,则
CD=AB=BD
∵∠A=30° ∴∠B=60°
∴△CDB是等边三角形
∴BC=BD=AB
归纳结论:直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
能力拓展

考法01
1.已知直角三角形两条直角边的 长分别为1cm和cm。求斜边上中线的长。
解:设斜边上的中线长为cm.
根据勾股定理得
=+
解得=1
答:斜边上的中线长为1cm。
2.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图。自动扶梯AB的倾斜角为30,大厅两层之间的距离为6米。你能算出自动扶梯AB的长吗?
解:在Rt△ABC中,
∵∠BAC=30°,BC=6米
所以AB=2BC=12米
答:自动扶梯AB的长为12米。



分层提分

题组A 基础过关练
1.在直角三角形中,若斜边上的中线长为6,则斜边长为( )
A.3 B.6 C.12 D.无法确定
【答案】.C
2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的高,若AD=3 cm,则斜边AB的长为( )
图1
A.3 cm B.6 cm
C.9 cm D.12 cm
【解析】D ∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°,∠ACB=90°,
∴∠B=180°-∠ACB-∠A=30°,∠ACD=180°-∠ADC-∠A=30°.
∵AD=3cm,∴AC=2AD=6cm,
∴AB=2AC=12cm.故选D.
3.如图2,在△ABC中,AH⊥BC于点H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.如果ED=5 cm,那么FH的长为( )
图2
A.5 cm B.6 cm
C.10 cm D.不能确定
【答案】.A
4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为( )
图3
A.2 B.3 C.4 D.2
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=AB=AE.因为CE=5,AD=2,所以DE=3.因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD==4.故选C.
5.如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E是垂足,连结CD.若BD=1,则AC的长是( )
图4
A.2 B.2 C.4 D.4
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴∠ACB=60°.
∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,∴∠DCB=60°-30°=30°.在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,
BD=1,∴CD=2BD=2.
由勾股定理,得BC==.
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=,
∴AC=2BC=2.故选A.
6.如图5,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,A'B'表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置,则在竹竿AB滑动过程中( )
图5
A.下滑时,OP的长增大
B.上升时,OP的长减小
C.无论怎样滑动,OP的长不变
D.只要滑动,OP的长就变化
【答案】C
【解析】∵AO⊥BO,P是AB的中点,
∴OP=AB,∴在滑动的过程中,OP的长不变.故选C.
题组B 能力提升练
7.如图6,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线.若∠A=26°,则∠BDC的度数为 .
图6

【答案】52°
【解析】∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD,∴∠DCA=∠A=26°,
∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°.
8.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,F是AD的中点.若AB=8,则EF= .
图7
【答案】2
【解析】在Rt△ABC中,∵D是AB的中点,∴AD=BD=CD=AB=4.∵F,E分别是AD,AC的中点,∴EF是△ACD的中位线,∴EF=CD=2.
9.如图8,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AD=6,则CD= .
图8
【答案】3
【解析】∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,∴CD=BD=×6=3.
10.如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为 .
图9
【答案】2
【解析】∵∠C=90°,∠ADC=60°,∴∠DAC=30°,∴CD=AD,即AD=2CD.∵∠B=30°,∠ADC=60°,∴∠BAD=30°,∴BD=AD,∴BD=2CD.∵BC=3,∴CD+2CD=3,∴CD=,∴BD=2,故答案为2.
11.如图10,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为 .
图10
【答案】
【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.
∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°,∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF=AD,CE=CF.
∵D是AB的中点,∴AD=AB=1,∴AF=,∴CF=,∴CE=,∴BE=BC-CE=2-=,故答案为.

题组C 培优拔尖练
12.如图11,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长等于 cm.
图11
【答案】3
【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点,
∴AD=BD=DC=AB=4cm.
又∵△EFG是由△BCD沿BA方向平移1cm得到的,∴GH∥DC,GD=1cm,
∴△AGH∽△ADC,∴=,
即=,
解得GH=3(cm).
13.如图12,BD⊥OA于点D,交射线OC于点P,PD=1,∠B=30°,若点P到OB的距离为1,则OP的长为 .
图12
【答案】2
【解析】 如图,过点P作PE⊥OB于点E.
∵点P到OB的距离为1,∴PE=1.
∵PD=1,∴PD=PE.
又∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上,
即∠POD=∠POE.
∵∠B=30°,BD⊥OA,∴∠BOD=60°,∴∠POE=∠BOD=30°,
∴OP=2PE=2.故答案为2.
14.已知:如图13,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E.若AE=2,求BE的长.
图13


【答案】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.
∵AD⊥BC,∴∠DAE=90°-∠B=60°.
∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°-∠DAE=30°,
∴在Rt△ADE中,AD=2AE=4.
∵在Rt△ABD中,∠B=30°,
∴AB=2AD=8,
∴BE=AB-AE=8-2=6.
15.已知:如图14,∠ABC=∠ADC=90°,O是线段AC的中点.
(1)求证:OB=OD;
(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周长.
图14
【答案】解:(1)证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,O是AC的中点,
∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD.
(2)∵OB=6,OD=OB,∴OD=6.
∵∠ADC=90°,O为AC的中点,
∴OA=OD=6,AC=2OD=12.
∵∠ACD=30°,∠ADC=90°,
∴AD=AC=6,即OA=AD=OD=6,
∴△AOD的周长是OA+AD+OD=6+6+6=18.
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