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2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
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2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

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这是一份2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷,共27页。

A.﹣2035B.2035C.±2035D.
2.(3分)今年的政府工作报告中指出:去年脱贫攻坚取得决定性成就,农村贫困人口减少1109万.数字1109万用科学记数法可表示为( )
A.1.109×107B.1.109×106C.0.1109×108D.11.09×106
3.(3分)下列图形是中心对称图形的有几个?( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(3分)某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如表:
表中表示零件个数的数据中,众数,中位数分别是( )
A.7个,7个B.7个,6个C.22个,22个D.8个,6个
5.(3分)下列运算中,错误的是( )
A.x2?x3=x6B.x2+x2=2x2C.(x2)3=x6D.(﹣3x)2=9x2
6.(3分)下面命题正确的是( )
A.三角形的内心到三个顶点距离相等
B.方程x2=14x的解为x=14
C.三角形的外角和为360°
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
7.(3分)如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示地下通道,市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是5m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.mB.5mC.mD.10m
8.(3分)对于实数a和b,定义一种新运算“?”为:a?b=,这里等式右边是实数运算.例如:1?3=.则方程x?2=的解是( )
A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7
9.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),与y轴交于(0,2),抛物线的对称轴为直线x=1,则下列结论中:①a+c=b;②方程ax2+bx+c=0的解为﹣1和3;③2a+b=0;④c﹣a>2,其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.(3分)如图,正方形ABCD边长为2,BM,DN分别是正方形的两个外角的平分线,点P,Q分别是平分线BM,DN上的点,且满足∠PAQ=45°,连接PQ,PC,CQ.则下列结论:
①BP?DQ=3.6,
②∠QAD=∠APB,
③∠PCQ=135°
④BP2+DQ2=PQ2,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题(每题3分,共15分)
11.(3分)因式分解:4a3﹣16a2+16a= .
12.(3分)端午节是我国传统佳节,小峰同学带了4个粽子(除粽馅不同外,其他均相同),其中有两个肉馅粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子,准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦,小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是 .
13.(3分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米,那么该建筑物的高度BC约为 米.
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE,AF分别是∠ABC,∠CAB平分线,BE,AF交于点O,OM⊥AB,AB=10,AC=8,则OM= .
15.(3分)如图,已知双曲线y=(x<0)和y=(x>0),直线OA与双曲线y=交于点A,将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B,与y轴交于点P,与双曲线y=交于点C,S△ABC=6,BP:CP=2:1,则k的值为 .
三.解答题(共55分)
16.(6分)计算:(π﹣3020)0﹣2cs45°﹣+|1﹣|.
17.(6分)先化简,再求值:,其中.
18.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“戏剧进课堂”的活动.该校随机抽取部分学生,四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对戏剧的喜爱情况,将结果绘制成如图两幅不完整的统计图,
根据图中提供的信息.解决下列问题:
(1)此次共调查了 名学生;
(2)扇形统计图中.B类所对应的扇形圆心角的大小为 度;
(3)请通过计算补全条形统计图;
(4)该校共有1560名学生.估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人?
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,AE∥BD,且AE=BD.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)连接CE交AB于点F,若∠ABE=30°,AE=2,求EF的长.
20.(8分)今年新型冠状病毒肺炎(COVID﹣19,简称为新冠肺炎)疫情在全球蔓延,我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争,我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措.复课返校后,为了拉大学生锻炼的间距,某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材:跳绳和毽子,原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元;购进2根跳绳和5个毽子共需120元.
(1)求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元?
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个,由于受疫情影响,商场决定对这两种器材打折销售,其中跳绳以八折出售,毽子以七五折出售,学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍,跳绳的数量不多于310根,请你求出学校花钱最少的购买方案.
21.(9分)如图,已知△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,连接OC,过点C作CF⊥AD,垂足为F.过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点G.
(1)若∠G=50°,求∠ACB的度数;
(2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF;
(3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2,若,求tan∠CAF的值.
22.(10分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6),并与y轴交于点B(0,3),点A是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示,P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连接BP,AP,求△ABP的面积的最大值;
(3)如图②所示,在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D,求出D点的坐标;并探究:在y轴上是否存在点Q,使∠CQD=60°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每题3分,共30分)
1.(3分)﹣2035的绝对值是( )
A.﹣2035B.2035C.±2035D.
【分析】根据绝对值的定义即可进行求解.
【解答】解:∵负数的绝对值等于它的相反数,
∴﹣2035的绝对值等于2035.
故选:B.
【点评】此题主要考查了绝对值的运算,规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
2.(3分)今年的政府工作报告中指出:去年脱贫攻坚取得决定性成就,农村贫困人口减少1109万.数字1109万用科学记数法可表示为( )
A.1.109×107B.1.109×106C.0.1109×108D.11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,故先将1109万换成11090000,再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案.
【解答】解:∵1109万=11090000,
∴11090000=1.109×107.
故选:A.
【点评】本题考查了科学记数法的简单应用,属于基础知识的考查,比较简单.
3.(3分)下列图形是中心对称图形的有几个?( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念判断.
【解答】解:从左到右第一,第二,第三个图形是中心对称图形,第四个图形不是中心对称图形.
故选:C.
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
4.(3分)某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如表:
表中表示零件个数的数据中,众数,中位数分别是( )
A.7个,7个B.7个,6个C.22个,22个D.8个,6个
【分析】根据众数和中位数的定义求解:众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【解答】解:由表可知7个出现次数最多,所以众数为7个,
因为共有50个数据,
所以中位数为第25个和第26个数据的平均数,即中位数为7个.
故选:A.
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
5.(3分)下列运算中,错误的是( )
A.x2?x3=x6B.x2+x2=2x2C.(x2)3=x6D.(﹣3x)2=9x2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则,合并同类项法则,幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可.
【解答】解:A.x2?x3=x5,故本选项符合题意;
B.x2+x2=2x2,故本选项不合题意;
C.(x2)3=x6,故本选项不合题意;
D.(﹣3x)2=9x2,故本选项不合题意.
故选:A.
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,熟记幂的运算法则是解答本题的关键.
6.(3分)下面命题正确的是( )
A.三角形的内心到三个顶点距离相等
B.方程x2=14x的解为x=14
C.三角形的外角和为360°
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据三角形内心,菱形的判定,一元二次方程和三角形外角和判断解答即可.
【解答】解:A,三角形的内心到三条边的距离相等,原命题是假命题,不符合题意;
B,方程x2=14x的解为x=14或x=0,原命题是假命题,不符合题意;
C,三角形的外角和为360°,是真命题;
D,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原命题是假命题,不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
7.(3分)如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示地下通道,市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是5m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.mB.5mC.mD.10m
【分析】如图,作CH⊥AB于H,在Rt△CBH中,根据sin45°=,即可求出CH.
【解答】解:如图,作CH⊥AB于H.
在Rt△CBH中,∵∠CHB=90°,BC=5m,∠CBH=45°,
∴sin45°=,
∴CH=BC×=5(m).
故选:B.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数等知识,解题的关键是记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.
8.(3分)对于实数a和b,定义一种新运算“?”为:a?b=,这里等式右边是实数运算.例如:1?3=.则方程x?2=的解是( )
A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7
【分析】已知方程利用题中的新定义化简,计算即可求出解.
【解答】解:已知等式整理得:=﹣1,
去分母得:1=2﹣x+4,
解得:x=5,
经检验x=5是分式方程的解.
故选:B.
【点评】此题考查了解分式方程,弄清题中的新定义是解本题的关键.
9.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),与y轴交于(0,2),抛物线的对称轴为直线x=1,则下列结论中:①a+c=b;②方程ax2+bx+c=0的解为﹣1和3;③2a+b=0;④c﹣a>2,其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴x=1计算2a+b与0的关系,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∴a+c=b,故本选项正确;
②由对称轴为x=1,一个交点为(﹣1,0),
∴另一个交点为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的解为﹣1和3,故本选项正确;
③由对称轴为x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a,则2a+b=0,故本选项正确;
④∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于(0,2),
∴c=2,
∵a<0,
∴c﹣a>2,故本选项正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴求出2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换.
10.(3分)如图,正方形ABCD边长为2,BM,DN分别是正方形的两个外角的平分线,点P,Q分别是平分线BM,DN上的点,且满足∠PAQ=45°,连接PQ,PC,CQ.则下列结论:
①BP?DQ=3.6,
②∠QAD=∠APB,
③∠PCQ=135°
④BP2+DQ2=PQ2,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】①根据BM,DN分别是正方形ABCD的两个外角平分线,即可得结论,进而即可判断;
②结合以上结论证明△ABP∽△QDA,对应边成比例即可判断;
③△ABP∽△QDA,对应边成比例,根据正方形的性质可得=,由∠PBC=∠CDQ=45°,可得△PBC∽△CDQ,进而可得结论;
④将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABG,可使AB与AD重合,证明△EAF≌△EAF'(SAS)可得△GBP是直角三角形,最后利用勾股定理可得结论.
【解答】解:∵BM,DN分别是正方形ABCD的两个外角平分线,
∴∠ADQ=∠ABP=135°,
∴∠BAP+∠APB=45°,
∵∠PAQ=45°,
∵∠QAD+∠BAP=45°,
∴∠QAD=∠APB,故②正确;
∴△ABP∽△QDA,
∴=,
∵正方形ABCD边长为2,
∴BP?DQ=AD?AB=4,故①错误;
∵=,
∴=,
即=,
∵∠PBC=∠CDQ=45°,
∴△PBC∽△CDQ,
∴∠BCP=∠DQC,
∴∠PCQ=360°﹣90°﹣∠DQC﹣∠DCQ,
∵∠DQC+∠DCQ=180°﹣∠CDQ=180°﹣45°,
∴∠PCQ=135°,故③正确;
如图,将△AQD绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,连接GP,AB与GP相交于点H,
∴△ADQ≌△ABG,
∴∠GAB=∠QAD,AG=AQ,BG=DQ,∠AGB=∠AQD,
∴∠GAP=∠GAB+∠BAP=QAD+∠BAP=∠BAD﹣∠PAQ=45°,
∴∠GAP=∠PAQ=45°,
∵AP=AP,
∴△AGP≌△AQP(SAS),
∴GP=QP,
∵∠PBC=45°,∠HBC=90°,
∴∠HBP=45°,
∴∠GBP=∠GBH+∠HBP=∠AGB+∠GAB+45°=∠AQD+∠QAD+45°,
∵∠AQD+∠QAD=180°﹣∠ADQ=180°﹣135°=45°,
∴∠GBP=90°,
∴△GBP是直角三角形,
∴BP2+BG2=GP2,
∴BP2+DQ2=PQ2,故④正确.
属于其中正确的有②③④,共3个.
故选:C.
【点评】本题属于几何综合题,考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,掌握翻转变换的性质,灵活运用勾股定理是解题的关键.
二.填空题(每题3分,共15分)
11.(3分)因式分解:4a3﹣16a2+16a= 4a(a﹣2)2 .
【分析】直接提取公因式4a,再利用公式法分解因式即可.
【解答】解:4a3﹣16a2+16a
=4a(a2﹣4a+4)
=4a(a﹣2)2.
故答案为:4a(a﹣2)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用乘法公式是解题关键.
12.(3分)端午节是我国传统佳节,小峰同学带了4个粽子(除粽馅不同外,其他均相同),其中有两个肉馅粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子,准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦,小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是 .
【分析】根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果,再由树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
【解答】解:肉粽记为A,红枣粽子记为B,豆沙粽子记为C,由题意可得,
由树状图可知共有12种可能的结果,其中小悦拿到的两个粽子都是肉馅的情况数为2,
∴小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率==,
故答案为:.
【点评】本题考查列表法与树状图法,解答本题的关键是明确题意,列出相应的树状图,求出相应的概率.
13.(3分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米,那么该建筑物的高度BC约为 80 米.
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD,DC的长,进而求出该建筑物的高度.
【解答】解:由题意可得:tan30°===,
解得:BD=20(米),
tan60°===,
解得:DC=60(米),
故该建筑物的高度为:BC=BD+DC=80(米)
故答案为80.
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE,AF分别是∠ABC,∠CAB平分线,BE,AF交于点O,OM⊥AB,AB=10,AC=8,则OM= 2 .
【分析】过O作OG⊥AC于G,OH⊥BC于H,根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:过O作OG⊥AC于G,OH⊥BC于H,连接OC,
∵AF平分∠CAB,BE平分∠ABC,
∴OG=OH=OM,
∵∠C=90°,AB=10,AC=8,
∴BC==6
∴S△ABC=AC?BC=×AB?OM+AC?OG+BC?OH,
∴×8×6=+×8×OG+,
∴OM=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了勾股定理和角平分线的性质,做题时运用了三角形角平分线的性质及“面积法”解答实际问题的能力.
15.(3分)如图,已知双曲线y=(x<0)和y=(x>0),直线OA与双曲线y=交于点A,将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B,与y轴交于点P,与双曲线y=交于点C,S△ABC=6,BP:CP=2:1,则k的值为 ﹣3 .
【分析】如图连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥OP于F.根据OA∥BC,得到S△OBC=S△ABC=6,根据已知条件得到S△OPB=4,S△OPC=2,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:如图连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥y轴于F.
∵OA∥BC,
∴S△OBC=S△ABC=6,
∵PB:PC=2:1,
∴S△OPB=4,S△OPC=2,
∵S△OBE=12=6,
∴S△PBE=2,
∵△BEP∽△CFP,
∴S△CFP=2×=,
∴S△OCF=,
∴k=﹣3.
故答案为:﹣3.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积的计算,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
三.解答题(共55分)
16.(6分)计算:(π﹣3020)0﹣2cs45°﹣+|1﹣|.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质,绝对值的性质,零指数幂的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=1﹣2×﹣4+﹣1
=1﹣﹣4+﹣1
=﹣4.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
17.(6分)先化简,再求值:,其中.
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算即可.
【解答】解:


=.
当时,原式=.
【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
18.(8分)为弘扬中华传统文化,某校开展“戏剧进课堂”的活动.该校随机抽取部分学生,四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对戏剧的喜爱情况,将结果绘制成如图两幅不完整的统计图,
根据图中提供的信息.解决下列问题:
(1)此次共调查了 60 名学生;
(2)扇形统计图中.B类所对应的扇形圆心角的大小为 150 度;
(3)请通过计算补全条形统计图;
(4)该校共有1560名学生.估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人?
【分析】(1)从两个统计图可知,“A,B,D”频数之和为10+25+10=45人,占调查人数的(1﹣25%),可求出调查人数;
(2)用360°乘以“B”所占的百分比即可;
(3)求出“C”的频数即可补全条形统计图;
(4)求出“A类”所占的百分比,即可求出总体1560人中最喜欢“A类”的人数.
【解答】解:(1)此次共调查的学生数是:(10+25+10)÷(1﹣25%)=60(人).
故答案为:60.
(2)B类所对应的扇形圆心角的大小为:360°×=150°.
故答案为:150;
(3)C类的人数有:60×25%=15(人),补全条形统计图如图所示:
(4)1560×=260(人),
答:该校1560名学生中“很喜欢”的A类的学生有260人.
【点评】本题考查条形统计图,扇形统计图,理解和掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的前提.
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,AE∥BD,且AE=BD.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)连接CE交AB于点F,若∠ABE=30°,AE=2,求EF的长.
【分析】(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断.
(2)证明△AEF∽△BCF,推出==,由此即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵AE∥BD,AE=BD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴四边形AEBD是矩形.
(2)解:∵四边形AEBD是矩形,
∴∠AEB=90°,
∵∠ABE=30°,AE=2,
∴BE=2,BC=4,
∴EC=2,
∵AE∥BC,
∴△AEF∽△BCF,
∴==,
∴EF=EC=.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
20.(8分)今年新型冠状病毒肺炎(COVID﹣19,简称为新冠肺炎)疫情在全球蔓延,我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争,我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措.复课返校后,为了拉大学生锻炼的间距,某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材:跳绳和毽子,原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元;购进2根跳绳和5个毽子共需120元.
(1)求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元?
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个,由于受疫情影响,商场决定对这两种器材打折销售,其中跳绳以八折出售,毽子以七五折出售,学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍,跳绳的数量不多于310根,请你求出学校花钱最少的购买方案.
【分析】(1)设跳绳原来的售价为x元,毽子原来的售价为y元,根据“原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元;购进2根跳绳和5个毽子共需120元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设学校购进m根跳绳,则购进(400﹣m)个毽子,根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的3倍,跳绳的数量不多于310根”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,设学校购进跳绳和毽子一共花了w元,根据总价=单价×数量即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设跳绳原来的售价为x元,毽子原来的售价为y元,
依题意得:,
解得:.
答:跳绳原来的售价为20元,毽子原来的售价为16元.
(2)设学校购进m根跳绳,则购进(400﹣m)个毽子,
依题意得:,
解得:300≤m≤310.
设学校购进跳绳和毽子一共花了w元,则w=20×0.8m+16×0.75(400﹣m)=4m+4800,
∵4>0,
∴w随m的增大而增大,
∴当m=300时,w取最小值,此时400﹣m=100.
∴学校花钱最少的购买方案为:购进跳绳300根,毽子100个.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
21.(9分)如图,已知△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,连接OC,过点C作CF⊥AD,垂足为F.过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点G.
(1)若∠G=50°,求∠ACB的度数;
(2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF;
(3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2,若,求tan∠CAF的值.
【分析】(1)连接BD,如图,利用切线性质和圆周角定理得到∠ADG=∠ABD=90°,再利用等角的余角相等得到∠ADB=∠G=50°,然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数;
(2)连接CD,如图,利用等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB,∠ODC=∠OCD,再利用圆周角定理得到∠ABC=∠ADC,然后根据三角形内角和可判断∠BAD=∠DOC;
(3)先证明△ABD∽△OFC得到=4,设S1=8x,S2=9x,则S△ABD=16x,S△OFC=4x,S△AOC=5x,则利用三角形面积公式得到==,则可设OF=4k,则OA=5k,利用勾股定理计算出CF,然后根据正切的定义求解.
【解答】(1)解:连接BD,如图,
∵DG为切线,
∴AD⊥DG,
∴∠ADG=90°,
∵AD为直径,
∴∠ABD=90°,
而∠GDB+∠G=90°,∠ADB+∠GDB=90°,
∴∠ADB=∠G=50°,
∴∠ACB=∠ADB=50°;
(2)证明:连接CD,如图,
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠ABC=∠ADC,
∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD,
∴∠BAD=∠COF;
(3)解:∵∠BAD=∠FOC,∠ABD=∠OFC,
∴△ABD∽△OFC,
∴=()2=4,
∵,设S1=8x,S2=9x,
则S△ABD=2S1=16x,
∴S△OFC=?16x=4x,
∴S△AOC=9x﹣4x=5x,
∵===,
∴设OF=4k,则OA=5k,
在Rt△OCF中,OC=5k,
CF==3k,
∴tan∠CAF===.
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理,垂径定理和相似三角形的性质.
22.(10分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6),并与y轴交于点B(0,3),点A是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示,P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连接BP,AP,求△ABP的面积的最大值;
(3)如图②所示,在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D,求出D点的坐标;并探究:在y轴上是否存在点Q,使∠CQD=60°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+6,将B(0,3)代入可得a=﹣,则可求解析式;
(2)连接PO,设P(n,﹣n2+2n+3),分别求出S△BPO=n,S△APO=﹣n2+3n+,S△ABO=,所以S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO=﹣n2+n=﹣(n﹣)2+,当n=时,S△ABP的最大值为;
(3)设D点的坐标为(t,﹣t2+2t+3),过D作对称轴的垂线,垂足为G,则DG=t﹣3,CG=6﹣(﹣t2+2t+3)=t2﹣2t+3,在Rt△CGD中,CG=DG,所以(t﹣3)=t2﹣2t+3,求出D(3+3,﹣3),所以AG=3,GD=3,连接AD,在Rt△ADG中,AD=AC=6,∠CAD=120°,在以A为圆心,AC为半径的圆与y轴的交点为Q点,此时,∠CQD=∠CAD=60°,设Q(0,m),AQ为圆A的半径,AQ2=OA2+QO2=9+m2=36,求出m=3或m=﹣3,即可求Q.
【解答】解:(1)抛物线顶点坐标为C(3,6),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+6,
将B(0,3)代入可得a=﹣,
∴y=﹣x2+2x+3;
(2)连接PO,
由题意,BO=3,AO=3,
设P(n,﹣n2+2n+3),
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO,
S△BPO=n,
S△APO=﹣n2+3n+,
S△ABO=,
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO=﹣n2+n=﹣(n﹣)2+,
∴当n=时,S△ABP的最大值为;
(3)存在,设D点的坐标为(t,﹣t2+2t+3),
过D作对称轴的垂线,垂足为G,
则DG=t﹣3,CG=6﹣(﹣t2+2t+3)=t2﹣2t+3,
∵∠ACD=30°,
∴2DG=DC,
在Rt△CGD中,
CG=DG,
∴(t﹣3)=t2﹣2t+3,
∴t=3+3或t=3(舍)
∴D(3+3,﹣3),
∴AG=3,GD=3,
连接AD,在Rt△ADG中,
∴AD==6,
∴AD=AC=6,∠CAD=120°,
∴在以A为圆心,AC为半径的圆与y轴的交点为Q点,
此时,∠CQD=∠CAD=60°,
设Q(0,m),AQ为圆A的半径,
AQ2=OA2+QO2=9+m2,
∴AQ2=AC2,
∴9+m2=36,
∴m=3或m=﹣3,
综上所述:Q点坐标为(0,3)或(0,﹣3).
【点评】本题考查二次函数的综合题;熟练掌握二次函数的图象及性质,能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键.
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