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基础套餐练03-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练(原卷版)+(解析版)
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基础套餐练03-【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练(原卷版)+(解析版)

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1.已知等比数列的公比,等差数列的首项,若且,则以下结论正确的有( )
A.B.C.D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由等比数列的公比,可知,又由条件且,判断和中至少有一个数是负数,公差,再判断其他选项.
【详解】
等比数列的公比,
和异号, ,故A正确;
但不能确定和的大小关系;故B不正确;
和异号,且且,
和中至少有一个数是负数,
又 , ,故D正确,
一定是负数,即 ,故C不正确;
故选:AD
【点睛】
本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用,意在考查推理和判断能力,属于中档题型.
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且,F为AE的中点,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则,数乘运算及平面向量基本定理进行解题.
【详解】
解:∵ AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,
由向量加法的三角形法则得
,A对;
∵,∴,
∴,
又F为AE的中点,∴,B对;
∴,C对;
∴,D错;
故选:ABC.
【点睛】
本题主要考查向量加法的三角形法则,数乘运算,考查平面向量基本定理,属于基础题.
3.已知点为曲线C的焦点,则曲线C的方程可能为( )
A.B.
C.()D.()
【答案】AD
【解析】
【分析】
依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.
【详解】
A. ,抛物线的焦点为,满足;
B. ,抛物线的焦点为,不满足;
C. (),焦点为,或或曲线表示圆不存在焦点,
,则,均不满足;
D. (),双曲线的焦点为,满足;
故选:.
【点睛】
本题考查了曲线的焦点,意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.
4.已知函数,,则以下结论错误的是( )
A.任意的,且,都有
B.任意的,且,都有
C.有最小值,无最大值
D.有最小值,无最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据与的单调性逐个判定即可.
【详解】
对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.
对B,易得反例,.故不成立.故B错误.
对C, 当因为为增函数,且当时,
当时.故无最小值,无最大值.故C错误.
对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.
故选:ABC
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.
二,解答题
5.a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=3,,且B=60°.
(1)求△ABC的面积;
(2)若D,E是BC边上的三等分点,求.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理,可得△ABC为直角三角形,然后可计算b,可得结果.
(2)计算,然后根据余弦定理,可得,利用平方关系,可得结果.
【详解】
(1)△ABC中,由csinC=asinA+bsinB,
利用正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.
又a=3,B=60°,所以;
所以△ABC的面积为.
(2)设D靠近点B,则BD=DE=EC=1.

所以
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用,属基础题.
6.已知等差数列的前项和为,若,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)先设等差数列的首项为,公差为,根据题意列出方程组,求出首项与公差,即可得出结果;
(2)由裂项相消法,直接求解,即可得出结果.
【详解】
(1)设等差数列的首项为,公差为,因为 ,,
则:,解得,
所以.
(2)由于,
所以.
则.
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式,以及求数列的和,熟记等差数列的通项公式与求和公式,以及裂项相消法求数列的和即可,属于基础题型.
7.在四棱锥中,,,,,分别为的中点,.
(1)求证:平面平面;
(2)设,若平面与平面所成锐二面角,求的取值范围.
【答案】(1)详见解析; (2).
【解析】
【详解】
(Ⅰ),分别为的中点,
为矩形,
∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE?面ABE,
∴平面ABE⊥平面BEF.
(Ⅱ),又,
又,所以面,
法一:建系为轴,为轴,为轴,
,,
平面法向量,平面法向量·
,可得.
法二:连交于点,四边形为平行四边形,所以为的中点,连,
则,面,,
作于点,所以面,
连,则,即为所求
在中,,
解得.
8.为了响应国家号召,某校组织部分学生参与了“垃圾分类,从我做起”的知识问卷作答,并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关?
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关?
(2)在成绩合格的学生中,利用性别进行分层抽样,共选取9人进行座谈,再从这9人中随机抽取5人发送奖品,记拿到奖品的男生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:
【答案】(1)没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关;(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)根据独立性检验的思想即可判断.
(2)依题意,成绩合格的男生抽取4人,成绩合格的女生抽取5人,X的可能取值为,求出各随机变量的概率,列出分布列即可求出期望.
【详解】
(1)完善列联表如下所示:

故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关.
(2)依题意,成绩合格的男生抽取4人,成绩合格的女生抽取5人,故X的可能取值为,
,,,
,,
故X的分布列为:
所以.
【点睛】
本题考查了独立性检验以及数学期望,解题的关键是列出列联表和分布列,属于基础题.
9.顺次连接椭圆:的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于,两点,,其中为坐标原点,求.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)利用已知建立a,b的方程,解出a,b即可.
(2)先考虑斜率不存在时,则与不存在,可设直线为,与椭圆联立,利用韦达定理结合条件解得k,再利用弦长公式计算即可.
【详解】
(1)由题可知,,
解得,.
所以椭圆的方程为.
(2)设,,
当直线斜率不存在时,明显不符合题意,故设的方程为,
代入方程,整理得.
由,解得,
所以,.

解得.
.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,设而不求,利用韦达定理是解决此类问题的常见方法,考查运算能力,属于中档题.
10.已知函数为自然对数的底数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求的值;
(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(Ⅰ),由题设知,求得的值;
(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,则方程
在内由两个不等实根,可列不等式组
,即可求a的范围
【详解】
解:(Ⅰ),由题设知,故
(Ⅱ)由题知,在内由两个不等实根,
.
【点睛】
本题考查了函数在一点处导数的几何意义,导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.
不合格
合格
男生
14
16
女生
10
20
0.100
0.050
0.010
0.001
2.703
3.841
6.635
10.828
不合格
合格
合计
男生
14
16
30
女生
10
20
30
合计
24
36
60
0
1
2
3
4
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