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专题1 用导数研究含参函数的单调性(原卷版)+(解析版)
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专题1 用导数研究含参函数的单调性(原卷版)+(解析版)

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这是一份专题1 用导数研究含参函数的单调性(原卷版)+(解析版),文件包含专题1用导数研究含参函数的单调性原卷版docx,专题1用导数研究含参函数的单调性解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共201页, 欢迎下载使用。

函数与导数一直是高考中的热点与难点,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,可以说函数单调性在研究函数图像,比较函数值大小,确定函数的极值与零点,解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点,而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.
二,解题秘籍
连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,下面我们根据的根的情况总结出8类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一:定义域为,可化为单根型方程
思路:直接解不等式,确定函数单调区间
【例1】讨论的单调性.
分析:,
根的情况转化为根的情况,
根据分别确定递增区间与递减区间.
类型二:定义域不是,可化为单根型方程
思路:根据根是否在定义域内进行分类
【例2】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为根的情况
根据是否在定义域内进行分类
(1),在上是增函数;
(2),在上是减函数,在上是增函数.
类型三:定义域是,可化为类单根型方程
思路:根据方程是否有解进行分类
【例3】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为方程根的情况,根据该方程是否有根进行分类,,方程无实根,,方程有一个实根,注意不要忽略的情况.
(1),在上是减函数;
(2),在上是减函数,在上是增函数.
类型四:定义域不是,可化为类单根型方程
思路:根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类
【例4】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一:讨论(无实根);
步骤二:讨论,由得(不在定义域内);
步骤三:讨论,根据是否在定义域内再分.
(1),在上是减函数;
(2),在上是减函数;
(3)
( = 1 \* rman i), ,在上是增函数;
( = 2 \* rman ii),在上是减函数,在上是增函数.
类型五:定义域是,可化为双根型方程
思路:根据根的大小进行分类
【例5】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论.
(1)在上是增函数,在上是减函数;
(2),在上是增函数;
(3), 在上是增函数,在上是减函数.
类型六:定义域不是,可化为双根型方程
思路:根据根是否在定义域内及根的大小进行分类
【例6】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一:讨论(根不在定义域内).
步骤二:讨论(根据的大小再分)
(1),在上是增函数;
(2)在上是增函数,在上是减函数;
(3),在上是增函数;
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型七:定义域是,可化为类双根型方程
思路:根据根的个数及根的大小进行分类
【例7】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为根的情况.
步骤一:讨论(有1个根).
步骤二:讨论(根据的大小再分)
(1),在上是增函数,在上是减函数;
(2)在上是增函数,在上是减函数;
(3),在上是增函数;
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
类型八:定义域不是,可化为类双根型方程
思路:根据根是否在定义域内,根的个数及根的大小进行分类
【例8】讨论的单调性
分析:,根的情况转化为根的情况.
步骤一:讨论(有1个根).
步骤二:讨论(不在定义域内)
步骤三:讨论(均在定义域内,根据的大小再分)
(1),在上是增函数,在上是减函数;(步骤一二合并)
(2)在上是增函数,在上是减函数;
(3),在上是增函数;
(4), 在上是增函数,在上是减函数.
三,典例展示
【例1】(2021陕西省西安高三下学期)已知函数().
(1)求函数的单调区间;
(2)若在(0,+∞)上恒成立,求的取值范围;
(3)求证:()
【解析】(1)因为函数,其定义域为(0,+∞)
所以

当时,,所以增区间为(0,+∞);
当时,令得,
当时,,所以减区间为,
当时,,所以增区间为;
综上:当时, 增区间为(0,+∞);
当时, 减区间为,增区间为;
(2)1°当时,函数增区间为(0,+∞),
此时不满足在(0,+∞)上恒成立;
2°当时,减区间为,增区间为,
要使在(0,+∞)上恒成立,
只需即可,
即,
令()
则,
解得,因此在(0,1)单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以当时,取最大值0,
故在(0,+∞)上恒成立,
当且仅当时成立,即;
(3)由(2)知,令时,()
∴()

令,则()
∴()

综上:成立.
【例2】(2022届四川省内江市高三零模)已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若函数有三个不同的零点,,,求的取值范围,并证明:.
【解析】(1)∵,∴
①当时,,则在上单调递增,无递减区间;
②当时,令,得
的解集为,的解集为
则在上单调递减,在上单调递增
(2)由(1)知函数f(x)有三个零点,则
∵在上单调递减,在上单调递增
∴的极大值为,且极大值大于,极小值为
∵有三个不同的零点,∴
解得,故的取值范围为.
又∵,当时,有,当时,有.
∴设,由零点存在性定理知.

又∵

∴ ,
因此.
【例3】(2021年全国新高考II卷数学试题)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)从下面两个条件中选一个,证明:只有一个零点
①;
②.
【解析】(1)由函数的解析式可得:,
当时,若,则单调递减,
若,则单调递增;
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,若,则单调递增,
若,则单调递减,
若,则单调递增;
(2)若选择条件①:
由于,故,则,
而,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
若选择条件②:
由于,故,则,
当时,,,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
当时,构造函数,则,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
注意到,故恒成立,从而有:,此时:
,
当时,,
取,则,
即:,
而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.
,
由于,,故,
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
四,跟踪检测
1.(2021内蒙古呼和浩特市高三二模)已知函数
(1)讨论g(x)的单调性;
(2)若,对任意恒成立,求a的最大值;
【解析】(1),
当时,,在上单调递增;
当时,令,解得,令,解得,
在上单调递减,在上单调递增;
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)即为,即,
设,则,
易知函数在上单调递增,
而,所以,即,当时,即为,
设,则,
易知函数在上单调递减,在上单调递增,
(e),
,即的最大值为.
2.(2022四川省资阳市高三第一次质量检测)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若在上只有一个极值,且该极值小于,求的取值范围.
【解析】(1)由题意,函数,
可得,
当时,,令,解得;令,解得,
故在递减,在递增,
当时,令,解得或,
设,可得,
当时,;当时,,
故,故,
由,解得或,
由,解得,
故在递增,在递减,在递增,
综上可得:当时,在递减,在递增,
时,在递增,在递减,在递增;
(2)当时,由(1)知,在递减,在递增,
故,解得,
当时,,由(1)知在处取极大值,
设,
则,
因为,可得,所以,在递减,
所以,所以不合题意,
当时,,由(1)知在递增,
此时在无极值,不符合题意,
综上可得,实数的取值范围是.
3.(2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,记的零点为,的极大值点为,求证:·
【解析】(1)的定义域为,,
当时,,在上单调递增:
当时,,在上有唯一正根,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减;在上单调递增.
(2)由(1)知,当时,在上单调递增,且,
所以在上有唯一零点.
又,又,由单调性运算性质可知,在上单调递减,且,
故存在,使得,即,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以是唯一极大值点,所以,故,
因此.
设,因为,
所以在上单调递增,所以.
故有,又在上单调递增,
所以.
4.(2021山东省泰安高三高考适应性训练)已知函数,
(1)讨论的单调性;
(2)若,,,用表示,的最小值,记函数,,讨论函数的零点个数.
【解析】(1)由已知可得函数的定义域为,,
当时,,故,在上单调递增;
当时,时,,在上单调递减,
时,,在上单调递增.
综上所述,当时,的单调递增区间是,无单调递减区间;
当时,的单调递减区间是,的单调递增区间是.
(2)由(1)可知当时,
所以所以
所以时,函数的零点个数即为函数在区间内的零点个数.
,任取,
因,所以是偶函数.
因为.
当时,在上恒成立,所以时,.
所以在上单调递增.
又因为,所以在上没有零点.
又因为是偶函数,所以在上没有零点.
当时,令,得.
由可知存在唯一使得.
所以当时,单调递增;
当时,,单调递减.
因为,.
所以当,即时,在上没有零点.
由是偶函数,可知在上没有零点.
所以当,即时,在上有个零点.
由是偶函数,可知在上有个零点.
综上,当时,有个零点;当时,没有零点.
即当时,有个零点;当时,没有零点.
5.已知函数,.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若关于的不等式在区间上恒成立,求的取值范围.
【解析】(1),求导得:.
当时,,,,在上单调递增.
当时,令,得,,单调递增;
令,得,,单调递减.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由得,.
令,则,上式变为.
①当时,上式恒成立;
②当时,时,,不成立;
③当时,,求导得:,
所以,,则,即.
综上,.
6.(2021山东省烟台市高三高考适应性练习)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当时,.
【解析】(1)函数的定义域为,.
令.
①当时,,,故在单调递减;
②当时,为二次函数,.
若,即,则的图象为开口向下的抛物线且,
所以,故在单调递减;
若,即或,令,得,.
当时,图象为开口向下的抛物线,,
所以当或时,,所以,单调递减;
当时,,所以,单调递增;
当时,图象为开口向上的抛物线,,
所以当,,所以,故单调递减;
当时,,所以,单调递增.
综上,当时,在和上单调递减,
在上单调递增;
当时,在单调递减,在上单调递增;
当,在单调递减;
(2)由(1)知,当时,在单调递减,在单调递增,
因此对恒有,即.
因为,若成立,则成立.
令,则,.
因为,所以,所以在单调递增,
又,所以当时,,所以在单调递增,
又,所以对恒有,即.
当时,,则,由不等式的基本性质可得.
因此,原不等式成立.
7.(2021浙江省高三高考考前模拟)已知函数(),其中是自然对数的底数.
(1)判断的单调性;
(2)令,记为函数的零点,求证:;
(3)令,,若对于,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1)∵,
∴,
令,故只需讨论的正负性即可,
∴,故单调递增,
故,
故,∴单调递增;
(2)由,
故,故单调递增,
当时,,故,
由,代入,得,故,
综上所述:;
(3)由题意得,即求恒成立时b的取值范围,
∵,故单调递增且当时,
又∵,故得,
故只需求,
当时,,解得(*),
令,
故,
令,
故由(*)知,故单调递增,
∴只需,
解得,
综上所述:的取值范围是.
8.已知函数,其中为正实数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设,若存在,,使得不等式成立,求的取值范围.
【解析】(1)根据题意,,
,,或,
所以①当时,,则有,或;,
此时可得,在,上单调递增,在上单调递减.
②当时,,则有,或;,
此时可得,在,,上单调递增,在上单调递减.
③当时,恒有,此时函数在上单调递增.
综上可得,①当时,在,上单调递增,在上单调递减.
②当时,在,,上单调递增,在上单调递减.
③当时,函数在上单调递增.
(2)根据题意,由(1)可得,,
若存在,,使得不等式成立,则需使,
,
由(1)可知,①当时,,则有,或;,
此时可得,在,上单调递增,在上单调递减,
即得在,上单调递增,故有;
②当时,,则有,或;,
此时可得,在,,上单调递增,在上单调递减.
当时,即时,在,上单调递减,
则有,不合题意;
当时,即时,在,上单调递减,在,
则有,
此时令,则,
即得此时在上单调递增,
所以(1)恒成立,即恒成立,不合题意;
综上可得,.
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