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2021年河南省师范大学附属中学中考数学一模试卷 解析版
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2021年河南省师范大学附属中学中考数学一模试卷 解析版

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这是一份2021年河南省师范大学附属中学中考数学一模试卷 解析版,共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

1.(3分)如图所示的工件的主视图是( )
A.B.C.D.
2.(3分)据世界卫生组织通报,截止2021年3月10日,全球感染新冠肺炎人数约为1.17亿,治愈率约为77%,请用科学记数法表达治愈总人数约为( )
A.1.17×108B.0.9009×1010
C.9.009×107D.9.009×108
3.(3分)已知反比例函数的图象经过点(2,﹣4),那么这个反比例函数的解析式是( )
A.y=B.y=﹣C.y=D.y=﹣
4.(3分)把函数y=(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( )
A.y=x2+2B.y=(x﹣1)2+1C.y=(x﹣2)2+2D.y=(x﹣1)2+3
5.(3分)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A.B.C.D.
6.(3分)如图所示,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于点A和点B,若点C是x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( )
A.6B.7C.8D.14
7.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为( )
A.55°B.65°C.60°D.75°
8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,⊙P与x轴,y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若⊙P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是( )
A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)
9.(3分)关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( )
A.两个正根B.两个负根
C.一个正根,一个负根D.无实数根
10.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,下列四个结论:
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=﹣4;
②若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;
③对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b;
④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.
其中正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.①③D.①③④
二,填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)计算sin30°+﹣(3﹣)0+|﹣|的值是 .
12.(3分)为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有150名学生会游泳,那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 .
13.(3分)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么AC为 米.
14.(3分)如图,在平面角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合,点E是x轴上一点,连接AE.若AD平分∠OAE,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF,△ABE的面积为18,则k的值为 .
15.(3分)如图所示的扇形AOB中,OA=OB=2,∠AOB=90°,C为上一点,∠AOC=30°,连接BC,过C作OA的垂线交AO于点D,则图中阴影部分的面积为 .
三,解答题(共75分)
16.(8分)已知:A=﹣+x,B=,x满足等式x2﹣5x+6=0,请求出A÷B的值.
17.(9分)为了解疫情期间学生网络学习的学习效果,东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”,“良好”,“一般”,“不合格”四个等次中,选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共抽查了 人.
(2)将条形统计图补充完整,并计算出扇形统计图中,学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中学习效果“优秀”的1人,“良好”的2人,“一般”的1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用画树状图法,求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.
18.(9分)已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.
求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP=∠BAC.
作法:
①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;
②连接BP.线段BP就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)求证:∠ABP=∠BAC.
19.(9分)某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后,有兴趣的在一起探究“函数y=x2﹣|x|的有关图象和性质”,探究过程如下:
(1)列表:问m= .
(2)请在平面直角坐标系中画出图象.
(3)若方程x2﹣|x|=p(p为常数)有三个实数根,则p= .
(4)试写出方程x2﹣|x|=p(p为常数)有两个实数根时,p的取值范围是 .
20.(9分)如图,AB是垂直于水平面的一座大楼,离大楼20米(BC=20米)远的地方有一段斜坡CD(坡度为1:0.75),且坡长CD=10米,某日下午一个时刻,在太阳光照射下,大楼的影子落在了水平面BC,斜坡CD,以及坡顶上的水平面DE处(A,B,C,D,E均在同一个平面内).若DE=4米,且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°(∠AED=24°),试求出大楼AB的高.(其中,sin24°≈0.41,cs24°≈0.91,tan24°≈0.45)
21.(10分)为了做好学校防疫工作,某高中开学前备足防疫物资,准备购买N95口罩(单位:只)和医用外科口罩(单位:包,一包=10只)若干,经市场调查:购买10只N95口罩,9包医用外科口罩共需236元;购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的5倍.
(1)购买一只N95口罩,一包医用外科口罩各需多少元?
(2)市场上现有甲,乙两所医疗机构:甲医疗机构销售方案为:购买一只N95口罩送一包医用外科口罩,乙医疗机构销售方案为:购买口罩全部打九折.若某高中准备购买1000只N95口罩,购买医用外科口罩m万包(m≥1),请你帮助设计最佳购买方案,最佳购买口罩总费用为多少元?
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+5与x轴,y轴分别交于点A,B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长;
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=,求这条抛物线的表达式;
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.
23.(11分)(1)【问题背景】如图①,已知△ABC∽△ADE,请直接写出图中的另外一对相似三角形: ;
(2)【尝试应用】如图②,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,求的值和∠DCE的度数;
(3)【拓展创新】如图③,D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=2,AC=3,请直接写出AD的长.
2021年河南师大附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一,选择题(下面各题均有四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置.每小题3分共30分)
1.(3分)如图所示的工件的主视图是( )
A.B.C.D.
【分析】主视图,左视图,俯视图是分别从物体正面,侧面和上面看,所得到的图形,本题找到从正面看所得到的图形即可.
【解答】解:从物体正面看,看到的是一个横放的矩形,且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形.
故选:B.
2.(3分)据世界卫生组织通报,截止2021年3月10日,全球感染新冠肺炎人数约为1.17亿,治愈率约为77%,请用科学记数法表达治愈总人数约为( )
A.1.17×108B.0.9009×1010
C.9.009×107D.9.009×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
【解答】解:1.17亿×77%=90090000=9.009×107.
故选:C.
3.(3分)已知反比例函数的图象经过点(2,﹣4),那么这个反比例函数的解析式是( )
A.y=B.y=﹣C.y=D.y=﹣
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式,可先设出解析式y=,再将点的坐标代入求出待定系数k的值,从而得出答案.
【解答】解:设反比例函数解析式为y=,
将(2,﹣4)代入,得:﹣4=,
解得k=﹣8,
所以这个反比例函数解析式为y=﹣,
故选:D.
4.(3分)把函数y=(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( )
A.y=x2+2B.y=(x﹣1)2+1C.y=(x﹣2)2+2D.y=(x﹣1)2+3
【分析】先求出y=(x﹣1)2+2的顶点坐标,再根据向右平移横坐标加,求出平移后的二次函数图象顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解:二次函数y=(x﹣1)2+2的图象的顶点坐标为(1,2),
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2),
∴所得的图象解析式为y=(x﹣2)2+2.
故选:C.
5.(3分)不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A.B.C.D.
【分析】首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:列表如下:
由表可知,共有4种等可能结果,其中两次记录的数字之和为3的有2种结果,
所以两次记录的数字之和为3的概率为=,
故选:C.
6.(3分)如图所示,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于点A和点B,若点C是x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( )
A.6B.7C.8D.14
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知,当C点位于O点时,△ABC的面积与△ABO的面积相等,由此即可求解.
【解答】解:∵AB∥x轴,且△ABC与△ABO共底边AB,
∴△ABC的面积等于△ABO的面积,
连接OA,OB,如下图所示:
则=.
故选:B.
7.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为( )
A.55°B.65°C.60°D.75°
【分析】连接CD,根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°﹣∠A=130°,根据垂径定理得到OD⊥BC,求得BD=CD,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:连接CD,
∵∠A=50°,
∴∠CDB=180°﹣∠A=130°,
∵E是边BC的中点,
∴OD⊥BC,
∴BD=CD,
∴∠ODB=∠ODC=BDC=65°,
故选:B.
8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,⊙P与x轴,y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若⊙P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是( )
A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)
【分析】设⊙O与x,y轴相切的切点分别是F,E点,连接PE,PF,PD,延长EP与CD交于点G,证明四边形PEOF为正方形,求得CG,再根据垂径定理求得CD,进而得PG,DB,便可得D点坐标.
【解答】解:设⊙O与x,y轴相切的切点分别是F,E点,连接PE,PF,PD,延长EP与CD交于点G,
则PE⊥y轴,PF⊥x轴,
∵∠EOF=90°,
∴四边形PEOF是矩形,
∵PE=PF,PE∥OF,
∴四边形PEOF为正方形,
∴OE=PF=PE=OF=5,
∵A(0,8),
∴OA=8,
∴AE=8﹣5=3,
∵四边形OACB为矩形,
∴BC=OA=8,BC∥OA,AC∥OB,
∴EG∥AC,
∴四边形AEGC为平行四边形,四边形OEGB为平行四边形,
∴CG=AE=3,EG=OB,
∵PE⊥AO,AO∥CB,
∴PG⊥CD,
∴CD=2CG=6,
∴DB=BC﹣CD=8﹣6=2,
∵PD=5,DG=CG=3,
∴PG=4,
∴OB=EG=5+4=9,
∴D(9,2).
故选:A.
9.(3分)关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( )
A.两个正根B.两个负根
C.一个正根,一个负根D.无实数根
【分析】先把方程(x﹣1)(x+2)=p2化为x2+x﹣2﹣p2=0,再根据b2﹣4ac=1+8+4p2>0可得方程有两个不相等的实数根,由﹣2﹣p2<0即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数),
∴x2+x﹣2﹣p2=0,
∴b2﹣4ac=1+8+4p2=9+4p2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
根据根与系数的关系,方程的两个根的积为﹣2﹣p2<0,
∴一个正根,一个负根,
故选:C.
10.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,下列四个结论:
①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=﹣4;
②若点C(﹣5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;
③对于任意实数t,总有at2+bt≤a﹣b;
④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.
其中正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.①③D.①③④
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题可对①进行判断;根据二次函数的性质,利用C点和D点到对称轴的距离的大小得到y1>y2,则可对②进行判断;利用二次函数的最值问题得到at2+bt+c≤a﹣b+c,则可对③进行判断;利用抛物线的对称性得到一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的整数根可能为x1=﹣3,x2=1或x1=﹣2,x2=0或x1=x2=﹣1,则p的值有三个,于是可对④进行判断.
【解答】解:∵抛物线经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=﹣4,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,抛物线开口向下,
而C(﹣5,y1)到直线x=﹣1的距离比D(π,y2)到直线x=﹣1的距离小,
∴y1>y2;所以②错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∴x=﹣1时,函数值有最大值a﹣b+c,
∴at2+bt+c≤a﹣b+c,
即at2+bt≤a﹣b;所以③正确;
∵抛物线经过A(2,0),B(﹣4,0)两点,抛物线的对称轴为x=﹣1,
∴一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的整数根可能为x1=﹣3,x2=1或x1=﹣2,x2=0或x1=x2=﹣1,
∴p的值有三个,所以④错误.
故选:C.
二,填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)计算sin30°+﹣(3﹣)0+|﹣|的值是 4 .
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质,绝对值的性质,算术平方根分别化简得出答案.
【解答】解:原式=+4﹣1+
=4.
故答案为:4.
12.(3分)为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有150名学生会游泳,那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150 .
【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案.
【解答】解:8400×=3150.
答:估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150.
故答案为:3150.
13.(3分)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么AC为 7 米.
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【解答】解:∵BD⊥AB,AC⊥AB,
∴BD∥AC,
∴△ACE∽△BDE,
∴,
∴=,
∴AC=7(米),
故答案为:7.
14.(3分)如图,在平面角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合,点E是x轴上一点,连接AE.若AD平分∠OAE,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF,△ABE的面积为18,则k的值为 12 .
【分析】连接BD,OF,过点A作AN⊥OE于N,过点F作FM⊥OE于M.证明BD∥AE,推出S△ABE=S△AOE=18,推出S△EOF=S△AOE=9,可得S△FME=S△EOF=3,由此即可解决问题.
【解答】解:如图,连接BD,OF,过点A作AN⊥OE于N,过点F作FM⊥OE于M.
∵AN∥FM,AF=FE,
∴MN=ME,
∴FM=AN,
∵A,F在反比例函数的图象上,
∴S△AON=S△FOM,
∴ON?AN=?OM?FM,
∴ON=OM,
∴ON=MN=EM,
∴ME=OE,
∴S△FME=S△FOE,
∵AD平分∠OAE,
∴∠OAD=∠EAD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE,
∴AE∥BD,
∴S△ABE=S△AOE,
∴S△AOE=18,
∵AF=EF,
∴S△EOF=S△AOE=9,
∴S△FME=S△EOF=3,
∴S△FOM=S△FOE﹣S△FME=9﹣3=6,
∴k=12.
故答案为:12.
15.(3分)如图所示的扇形AOB中,OA=OB=2,∠AOB=90°,C为上一点,∠AOC=30°,连接BC,过C作OA的垂线交AO于点D,则图中阴影部分的面积为 .
【分析】根据扇形的面积公式,利用图中阴影部分的面积=S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD进行计算.
【解答】解:∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOC=60°,
∵扇形AOB中,OA=OB=2,
∴OB=OC=2,
∴△BOC是等边三角形,
∵过C作OA的垂线交AO于点D,
∴∠ODC=90°,
∵∠AOC=30°,
∴OD=OC=,CD=OC=1,
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
=﹣+
=π﹣.
故答案为π﹣.
三,解答题(共75分)
16.(8分)已知:A=﹣+x,B=,x满足等式x2﹣5x+6=0,请求出A÷B的值.
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值,再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,继而选取使分式有意义的x的值代入计算即可.
【解答】解:∵x2﹣5x+6=0,
∴(x﹣2)(x﹣3)=0,
则x﹣2=0或x﹣3=0,
解得x1=2,x2=3;
A÷B
=(﹣+x)÷
=(﹣)÷
=?
=x2﹣3x,
∵x=2时分式无意义,
∴x=3,
则A÷B=9﹣9=0.
17.(9分)为了解疫情期间学生网络学习的学习效果,东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”,“良好”,“一般”,“不合格”四个等次中,选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共抽查了 200 人.
(2)将条形统计图补充完整,并计算出扇形统计图中,学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中学习效果“优秀”的1人,“良好”的2人,“一般”的1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用画树状图法,求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.
【分析】(1)由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数;
(2)求出“不合格”的学生人数为20人,从而补全条形统计图;由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可;
(3)画出树状图,利用概率公式求解即可.
【解答】解:(1)这次活动共抽查的学生人数为80÷40%=200(人);
故答案为:200;
(2)“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60=20(人),
将条形统计图补充完整如图:
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×=108°;
(3)把学习效果“优秀”的记为A,“良好”记为B,“一般”的记为C,
画树状图如图:
共有12个等可能的结果,抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个,
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率==.
18.(9分)已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.
求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP=∠BAC.
作法:
①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;
②连接BP.线段BP就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)求证:∠ABP=∠BAC.
【分析】(1)根据作图画出对应的几何图形;
(2)先根据圆周角定理得到∠BPC=∠BAC,再根据平行线的性质得到∠ABP=∠BPC,然后利用等量代换得到结论.
【解答】(1)解:如图,BP为所作;
(2)证明:∵∠BPC和∠BAC都对,
∴∠BPC=∠BAC,
∵CD∥AB,
∴∠ABP=∠BPC,
∴∠ABP=∠BAC.
19.(9分)某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后,有兴趣的在一起探究“函数y=x2﹣|x|的有关图象和性质”,探究过程如下:
(1)列表:问m= .
(2)请在平面直角坐标系中画出图象.
(3)若方程x2﹣|x|=p(p为常数)有三个实数根,则p= 0 .
(4)试写出方程x2﹣|x|=p(p为常数)有两个实数根时,p的取值范围是 p>0或p=﹣ .
【分析】(1)把x=2代入解析式,计算即可;
(2)按照图象的基本步骤画图即可;
(3)结合图象判断当函数值为0时,图象与x轴有3个交点,即有三个实数根;
(4)结合图象可知当x>0或在顶点位置时有两个实数根.
【解答】解:(1)当x=2时,
y=x2﹣|x|=(2)2﹣|2|=,
故答案为;
(2)图象如下:

(3)由(2)题图象可知当y=0时图象与x轴有三个交点,
即当p=0时方程x2﹣|x|=p有三个实数根,
故答案为0;
(4)由(2)图象可以看出当y=p直线经过顶点或者在x轴上方时与图象有两个交点,即方程x2﹣|x|=p(p为常数)有两个实数根,
∴p>0或p=,
故答案为p>0或p=﹣.
20.(9分)如图,AB是垂直于水平面的一座大楼,离大楼20米(BC=20米)远的地方有一段斜坡CD(坡度为1:0.75),且坡长CD=10米,某日下午一个时刻,在太阳光照射下,大楼的影子落在了水平面BC,斜坡CD,以及坡顶上的水平面DE处(A,B,C,D,E均在同一个平面内).若DE=4米,且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°(∠AED=24°),试求出大楼AB的高.(其中,sin24°≈0.41,cs24°≈0.91,tan24°≈0.45)
【分析】延长ED交AB于G,DH⊥BF于H,得到四边形 DHBG是矩形,求得DG=BH,DH=BG,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:延长ED交AB于G,DH⊥BF于H,
∵DE∥BF,
∴四边形 DHBG是矩形,
∴DG=BH,DH=BG,
∵=,CD=10,
∴DH=8,CH=6,
∴GE=20+4+6=30,
∵tan24°===0.45,
∴AG=13.5,
∴AB=AG+BG=13.5+8=21.5.
答:大楼AB的高为21.5米.
21.(10分)为了做好学校防疫工作,某高中开学前备足防疫物资,准备购买N95口罩(单位:只)和医用外科口罩(单位:包,一包=10只)若干,经市场调查:购买10只N95口罩,9包医用外科口罩共需236元;购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的5倍.
(1)购买一只N95口罩,一包医用外科口罩各需多少元?
(2)市场上现有甲,乙两所医疗机构:甲医疗机构销售方案为:购买一只N95口罩送一包医用外科口罩,乙医疗机构销售方案为:购买口罩全部打九折.若某高中准备购买1000只N95口罩,购买医用外科口罩m万包(m≥1),请你帮助设计最佳购买方案,最佳购买口罩总费用为多少元?
【分析】(1)根据题意列出方程组即可;
(2)分三种购买方案进行计算比较即可得结论.
【解答】解:(1)设一只N95口罩x元,一包医用外科口罩y元,根据题意得,

解得,
答:一只N95口罩20元,一包医用外科口罩4元;
(2)方案一:单独去甲医疗机构买总费用为:20×1000+4(10000m﹣1000)=40000m+16000(元);
方案二:单独去乙医疗机构买总费用为:(20×1000+40000m)×0.9=36000m+18000(元);
方案三:线去甲医疗机构购买一只N95口罩送一包医用外科口罩,剩下的去乙医疗机构买,
总费用为:20×1000+4(10000m﹣1000)×0.9=36000m+16400(元).
∵m≥1,
∴方案三最佳,总费用为(36000m+16400)元.
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+5与x轴,y轴分别交于点A,B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长;
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=,求这条抛物线的表达式;
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,求a的取值范围.
【分析】(1)先求出A,B坐标,即可得出结论;
(2)设点C(m,﹣m+5),则BC=|m|,进而求出点C(2,4),最后将点A,C代入抛物线解析式中,即可得出结论;
(3)将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=﹣10a,代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为(5,﹣25a),即可得出结论.
【解答】解:(1)针对于直线y=﹣x+5,
令x=0,y=5,
∴B(0,5),
令y=0,则﹣x+5=0,
∴x=10,
∴A(10,0),
∴AB==5;
(2)设点C(m,﹣m+5),
∵B(0,5),
∴BC==|m|,
∵BC=,
∴|m|=,
∴m=±2,
∵点C在线段AB上,
∴m=2,
∴C(2,4),
将点A(10,0),C(2,4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中,得,
∴,
∴抛物线y=﹣x2+x;
(3)∵点A(10,0)在抛物线y=ax2+bx中,得100a+10b=0,
∴b=﹣10a,
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a,
∴抛物线的顶点D坐标为(5,﹣25a),
将x=5代入y=﹣x+5中,得y=﹣×5+5=,
∵顶点D位于△AOB内,
∴0<﹣25a<,
∴﹣<a<0;
23.(11分)(1)【问题背景】如图①,已知△ABC∽△ADE,请直接写出图中的另外一对相似三角形: △ABD∽△ACE ;
(2)【尝试应用】如图②,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,求的值和∠DCE的度数;
(3)【拓展创新】如图③,D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=2,AC=3,请直接写出AD的长.
【分析】(1)【问题背景】由题意得出,∠BAC=∠DAE,则∠BAD=∠CAE,可证得结论;
(2)【尝试应用】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)【拓展创新】过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,证明△BDC∽△MDA,由相似三角形的性质和直角三角形的性质可求出AD的长.
【解答】(1)【问题背景】
证明:∵△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,,
∴∠BAD=∠CAE,,
∴△ABD∽△ACE,
故答案为:△ABD∽△ACE;
(2)【尝试应用】
解:∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,
∴△ABC∽△ADE,
∴=,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴,∠ACE=∠B=30°,
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,
∴=tan30°=,
∴,
∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°;
(3)【拓展创新】
解:如图③,过点A作AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于点M,连接BM,
∵∠BAD=30°,
∴∠DAM=60°,
∴∠AMD=30°,
∴∠AMD=∠DBC,
又∵∠ADM=∠BDC=90°,
∴△BDC∽△MDA,
∴,
又∠BDC=∠ADM,
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM,
即∠BDM=∠CDA,
∴△BDM∽△CDA,
∴=,
∵AC=3,
∴BM=3,
∴AM===,
∴AD=AM=.
x

﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
2

y

6
2
0
0
0
2
m

1
2
1
2
3
2
3
4
x

﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
2

y

6
2
0
0
0
2
m

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