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2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.3.4 空间距离的计算
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高中数学6.3空间向量的应用学案

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这是一份高中数学6.3空间向量的应用学案,共21页。学案主要包含了点到平面的距离,点到直线的距离,直线到平面的距离等内容,欢迎下载使用。

导语
如图,在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处,修建一个蔬菜存储库.如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计?
一,点到平面的距离
问题1 如图,P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,θ=〈eq \(AP,\s\up6(→)),n〉,如何利用这些条件求点P到平面α的距离?
提示 点P到平面α的距离d为|eq \(AP,\s\up6(→))|cs θ的绝对值,即d=eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
知识梳理
若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离d=eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.
解 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),
所以eq \(AG,\s\up6(→))=(0,1,0),eq \(GE,\s\up6(→))=(-2,1,1),
eq \(GF,\s\up6(→))=(-1,-1,2).
设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,点A到平面EFG的距离为d,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(→))=0,,n·\(GF,\s\up6(→))=0,))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2x+y+z=0,,-x-y+2z=0,))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=z,,y=z.))
令z=1,此时n=(1,1,1),
所以d=eq \f(|\(AG,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(1,\r(3))=eq \f(\r(3),3),
即点A到平面EFG的距离为eq \f(\r(3),3).
反思感悟 求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法:d=eq \f(|n·\(MA,\s\up6(→))|,|n|)(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)
跟踪训练1 如图所示,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3),求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.
解 设正四棱柱的高为h(h>0),建立如图所示的空间直角坐标系,
有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h),
则eq \(AB1,\s\up6(→))=(1,0,-h),eq \(AD1,\s\up6(→))=(0,1,-h),eq \(AC,\s\up6(→))=(1,1,0),
设平面AB1D1的法向量为
n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))=0,,n·\(AD1,\s\up6(→))=0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-hz=0,,y-hz=0,))
取z=1,得n=(h,h,1),
所以点C到平面AB1D1的距离为
d=eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)=eq \f(h+h+0,\r(h2+h2+1))=eq \f(4,3),解得h=2.
故正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为2.
二,点到直线的距离
问题2 如图,借助于向量,如何求点P到直线l的距离PO?
提示 思路一:如问题图(1),若已知与直线l垂直的直线OP的方向向量n,可利用d=eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)求解.
思路二:如问题图(2),若已知直线l的方向向量e,可利用|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→)),e〉求解.
知识梳理
若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d=eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
设e是直线l的方向向量,则点P到直线l的距离为d=|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→)),e〉.
例2 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),
所以直线A1C1的方向向量eq \(A1C1,\s\up6(—→))=(-4,3,0),
eq \(BC1,\s\up6(→))=(0,3,1),
所以cs〈eq \(BC1,\s\up6(→)),eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉=eq \f(9\r(10),50),
sin〈eq \(BC1,\s\up6(→)),eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉=eq \f(13\r(10),50),
所以点B到直线A1C1的距离d=|eq \(BC1,\s\up6(→))|sin〈eq \(BC1,\s\up6(→)),eq \(A1C1,\s\up6(—→))〉
=eq \r(10)×eq \f(13\r(10),50)=eq \f(13,5).
延伸探究 例2中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.
解 如例2解中建立空间直角坐标系(图略).
则M(2,0,1),Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(3,2),0)),C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,3,1)),
所以直线MN的方向向量为eq \(MN,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,2),-1)),
eq \(MC1,\s\up6(→))=(-2,3,0),
所以cs〈eq \(MC1,\s\up6(→)),eq \(MN,\s\up6(→))〉=eq \f(9,13),sin〈eq \(MC1,\s\up6(→)),eq \(MN,\s\up6(→))〉=eq \f(2\r(22),13),
所以点C1到MN的距离
d=|eq \(MC1,\s\up6(→))|sin〈eq \(MC1,\s\up6(→)),eq \(MN,\s\up6(→))〉=eq \r(13)×eq \f(2\r(22),13)=eq \f(2\r(286),13).
反思感悟 用向量法求点到直线距离的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系;
(2)求所求点P与直线上某一点A所构成的向量|eq \(AP,\s\up6(→))|;
(3)若已知直线的方向向量e,则利用公式|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→)),e〉求解;若已知直线的法向量n,可利用d=eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)求解.
跟踪训练2 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3,求点B到直线A′C的距离.
解 因为AB=1,BC=2,AA′=3,
所以A′(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),
所以直线A′C的方向向量eq \(A′C,\s\up6(—→))=(1,2,-3),
又eq \(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),
所以cs〈eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(A′C,\s\up6(—→))〉=eq \f(\r(14),7),sin〈eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(A′C,\s\up6(—→))〉=eq \f(\r(35),7),
所以点B到直线A′C的距离
d=|eq \(BC,\s\up6(→))|sin〈eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(A′C,\s\up6(—→))〉=2×eq \f(\r(35),7)=eq \f(2\r(35),7).
三,直线(平面)到平面的距离
问题3 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离?
提示 在其中一条直线上取定一点,则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
知识梳理
(1)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(2)如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
例3 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
(1)证明 连接AB1交A1B于点E,连接DE.
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(DE∥B1C,,DE?平面A1BD,,B1C?平面A1BD,))?B1C∥平面A1BD.
(2)解 因为B1C∥平面A1BD,
所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.
如图,以D为坐标原点,DC,DB所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
则B1(0,2eq \r(2),3),B(0,2eq \r(2),0),A1(-1,0,3),
eq \(DB1,\s\up6(→))=(0,2eq \r(2),3),eq \(DB,\s\up6(→))=(0,2eq \r(2),0),
eq \(DA1,\s\up6(→))=(-1,0,3).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DB,\s\up6(→))=0,,n·\(DA1,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(2)y=0,,-x+3z=0,))
所以n=(3,0,1).
所求距离为d=eq \f(|n·\(DB1,\s\up6(→))|,|n|)=eq \f(3\r(10),10).
反思感悟 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤
第一步,确定法向量;
第二步,选择参考向量;
第三步,利用公式求解.
跟踪训练3 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.
解 如图所示,建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),
F(2,4,4),N(4,2,4),
从而eq \(EF,\s\up6(→))=(2,2,0),eq \(MN,\s\up6(→))=(2,2,0),eq \(AM,\s\up6(→))=(-2,0,4),eq \(BF,\s\up6(→))=(-2,0,4).
∴eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(MN,\s\up6(→)),eq \(AM,\s\up6(→))=eq \(BF,\s\up6(→)),∴EF∥MN,AM∥BF.
又EF∩BF=F,MN∩AM=M,
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(→))=2x+2y=0,,n·\(AM,\s\up6(→))=-2x+4z=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2z,,y=-2z.))
取z=1,得n=(2,-2,1)为平面AMN的一个法向量.
设平面AMN与平面EFBD间的距离记为d,
∵eq \(AB,\s\up6(→))=(0,4,0),
∴d=eq \f(|n·\(AB,\s\up6(→))|,|n|)=eq \f(8,3).
1.知识清单:
(1)点到直线的距离.
(2)点到平面的距离.
(3)直线(平面)到平面的距离.
2.方法归纳:数形结合,转化法.
3.常见误区:对距离公式理解不到位,在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.1 C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
答案 A
解析 ∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),
eq \(AB,\s\up6(→))=(1,0,0),eq \(BC,\s\up6(→))=(-1,2,-2),
cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))〉=-eq \f(1,3),sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))〉=eq \f(2\r(2),3),
∴点A到直线BC的距离为
d=|eq \(AB,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))〉=eq \f(2\r(2),3).
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 分别以PA,PB,PC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),
则d=eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(\r(3),3).
3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),
所以eq \(DA1,\s\up6(→))=(1,0,-1),
eq \(DC1,\s\up6(→))=(0,1,-1),eq \(AD,\s\up6(→))=(-1,0,0),设平面A1C1D的一个法向量为
m=(x,y,1) ,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(DA1,\s\up6(→)),,m⊥\(DC1,\s\up6(→)),)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1=0,,y-1=0,)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1,))
故m=(1,1,1),
显然平面AB1C∥平面A1C1D,
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·m|,|m|)=eq \f(1,\r(3))=eq \f(\r(3),3) .
4.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为________.
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,1,\f(1,2))),
A(1,0,0),
∴eq \(AM,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1,\f(1,2))),eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq \(AD1,\s\up6(→))=(-1,0,1).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))=0,,n·\(AD1,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x+y=0,,-x+z=0.))
令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1).
∴点M到平面ACD1的距离d=eq \f(|\(AM,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(\r(3),2).
又eq \(MN,\s\up6(→))綊eq \f(1,2)eq \(AD1,\s\up6(→)),故MN∥平面ACD1.
故直线MN到平面ACD1的距离为eq \f(\r(3),2).
课时对点练
1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
A.10 B.3
C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 由题意可知eq \(PA,\s\up6(→))=(1,2,-4).
设点P到平面α的距离为h,
则h=eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(|-2-4-4|,\r(4+4+1))=eq \f(10,3).
2.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3) D.3eq \r(2)
答案 B
解析 ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),
eq \(OA,\s\up6(→))=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),
∴两平面间的距离d=eq \f(|n·\(OA,\s\up6(→))|,|n|)=eq \f(|-2+0+1|,\r(2))=eq \f(\r(2),2).
3.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(6),3) D.1
答案 C
解析 因为平面α⊥平面β,
且AC⊥l,BD⊥l,故AC⊥平面β,BD⊥平面α,依题意建立空间直角坐标系如图所示,
在Rt△ACD中,可得CD=eq \r(2),
故A(0,0,1),B(1,eq \r(2),0),C(0,0,0),D(0,eq \r(2),0),
则eq \(CA,\s\up6(→))=(0,0,1),eq \(CB,\s\up6(→))=(1,eq \r(2),0),eq \(CD,\s\up6(→))=(0,eq \r(2),0).
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CA,\s\up6(→))=0,,n·\(CB,\s\up6(→))=0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\r(2)y,,z=0,))
令y=1,可得n=(-eq \r(2),1,0),
故所求距离d=eq \f(|\(CD,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(\r(2),\r(3))=eq \f(\r(6),3).
4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5 B.8
C.eq \f(60,13) D.eq \f(13,3)
答案 C
解析 以D为坐标原点,eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),
由n⊥eq \(BC,\s\up6(→)),n⊥eq \(CD1,\s\up6(→)),
得n·eq \(BC,\s\up6(→))=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·eq \(CD1,\s\up6(→))=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=eq \f(5,12)c,所以可取n=(0,5,12).
又eq \(B1B,\s\up6(→))=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为eq \f(|\(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(60,13).
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(60,13).
5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0)
∴eq \(D1E,\s\up6(→))=(1,1,-1),eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,2,0),eq \(AD1,\s\up6(→))=(-1,0,1),
设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))=0,,n·\(AD1,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-a+2b=0,,-a+c=0,))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2b,,a=c,))可取n=(2,1,2),
∴点E到平面ACD1的距离为
d=eq \f(|\(D1E,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(2+1-2,3)=eq \f(1,3).
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 以{eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(DD1,\s\up6(→))}为正交基底建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),
eq \(C1O,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(C1A1,\s\up6(—→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\f(1,2),0)),
平面ABC1D1的一个法向量为eq \(DA1,\s\up6(→))=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离d=eq \f(|\(DA1,\s\up6(→))·\(C1O,\s\up6(→))|,|\(DA1,\s\up6(→))|)=eq \f(\f(1,2),\r(2))=eq \f(\r(2),4).
7.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 因为eq \(PA,\s\up6(→))=(-2,0,-1),又n与l垂直,
所以点P到l的距离为eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(|-2+1|,\r(2))=eq \f(\r(2),2).
8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie na),如图.已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为________.
答案 eq \r(2)
解析 以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
如图,则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),
C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1).
eq \(BM,\s\up6(→))=(1,1,1),eq \(BA,\s\up6(→))=(2,0,0),
eq \(BP,\s\up6(→))=(2,0,2).
设n=(x,y,z)为平面ABM的一个法向量,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))=0,,n·\(BM,\s\up6(→))=0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x=0,,x+y+z=0,))
令z=-1,可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的距离为d=eq \f(|n·\(BP,\s\up6(→))|,|n|)=eq \r(2).
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),
M(2,0,1),C1(0,2,2),
直线AC1的一个单位方向向量为s0=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))),eq \(AM,\s\up6(→))=(2,0,1),
故点M到直线AC1的距离
d=|eq \(AM,\s\up6(→))|sin〈eq \(AM,\s\up6(→)),s0〉=eq \f(3\r(2),2).
(2)设平面MA1C1的一个法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(—→))=0,,n·\(A1M,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y=0,,2x-z=0,))
取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以eq \(MN,\s\up6(→))=(-1,1,-1),
故N到平面MA1C1的距离d=eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(3,\r(5))=eq \f(3\r(5),5).
10.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解 (1)建立以D为坐标原点,eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(DP,\s\up6(→))分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.
则P(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2),0)),
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1,0)),
所以eq \(EF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2),0)),
eq \(PE,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2),-1)),eq \(DE,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2),0)),
设平面PEF的法向量n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))=0,,n·\(PE,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)x+\f(1,2)y=0,,x+\f(1,2)y-z=0.))
令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),
所以点D到平面PEF的距离
d=eq \f(|\(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(|2+1|,\r(4+4+9))=eq \f(3\r(17),17),
因此点D到平面PEF的距离为eq \f(3\r(17),17).
(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.
又因为AC?平面PEF,EF?平面PEF,
所以AC∥平面PEF.
因为eq \(AE,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2),0)),
所以点A到平面PEF的距离
d=eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(1,\r(17))=eq \f(\r(17),17).
所以直线AC到平面PEF的距离为eq \f(\r(17),17).
11.如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→)),则P到AB的距离为( )
\
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 如图,分别以AB,AD,AE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AE,\s\up6(→))可作为x,y,z轴方向上的单位向量,
因为eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→)),
所以eq \(AP,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),\f(1,2),\f(2,3))),
eq \(AB,\s\up6(→))=(1,0,0),
所以cs〈eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=eq \f(9\r(181),181),
sin〈eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=eq \f(10\r(181),181),
所以点P到AB的距离
d=|eq \(AP,\s\up6(→))|sin〈eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=eq \f(\r(181),12)×eq \f(10\r(181),181)=eq \f(5,6).
12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为( )
A.eq \r(3)λ B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),3)λ D.eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系(图略),
则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),
eq \(ED1,\s\up6(→))=(-2,0,1),eq \(EF,\s\up6(→))=(0,2,0),eq \(EM,\s\up6(→))=(0,λ,1).
设平面D1EF的一个法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED1,\s\up6(→))=-2x+z=0,,n·\(EF,\s\up6(→))=2y=0,))
取x=1,得n=(1,0,2),
所以点M到平面D1EF的距离为
d=eq \f(|\(EM,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(2,\r(5))=eq \f(2\r(5),5).
因为N为ME的中点,所以N到平面D1EF的距离为eq \f(\r(5),5).
13.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=eq \f(1,3)DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为________.
答案 eq \f(4\r(37),37)
解析 以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,1,\f(1,2))),Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1,\f(1,2))),Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,0,\f(1,3))),D1(0,0,1),
A1(1,0,1),
∴eq \(EF,\s\up6(→))=(-1,0,0),eq \(FG,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-1,-\f(1,6))), eq \(D1A1,\s\up6(—→))=(1,0,0),
∴eq \(D1A1,\s\up6(—→))∥eq \(EF,\s\up6(→)).
又∵EF?平面EFGH,D1A1?平面EFGH,
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离,
即为点D1到平面EFGH的距离.
设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))=0,,n·\(FG,\s\up6(→))=0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-x=0,,y+\f(1,6)z=0,))
令z=6,则y=-1,
∴n=(0,-1,6),
又∵eq \(D1F,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1,-\f(1,2))),
∴点D1到平面EFGH的距离
d=eq \f(|\(D1F,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(4\r(37),37),
∴A1D1到平面EFGH的距离为eq \f(4\r(37),37).
14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为________.
答案 eq \f(\r(21),7)
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),\f(1,2),0)),B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
则eq \(C1A,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),\f(1,2),-1)),
eq \(C1B1,\s\up6(—→))=(0,1,0),eq \(C1B,\s\up6(→))=(0,1,-1).
设平面ABC1的一个法向量为
n=(x,y,1),
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(C1A,\s\up6(→))·n=\f(\r(3),2)x+\f(1,2)y-1=0,,\(C1B,\s\up6(→))·n=y-1=0,))
解得n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3),1,1)),
则所求距离为eq \f(|\(C1B1,\s\up6(—→))·n|,|n|)=eq \f(1,\r(\f(1,3)+1+1))=eq \f(\r(21),7).
15.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2,点E是线段AB上一点,当二面角P-EC-D的大小为eq \f(π,4)时,AE=______,此时,点D到平面PEC的距离为______.
答案 2-eq \r(3) eq \f(\r(2),2)
解析 设AE=a(0≤a≤2),以点D为坐标原点,eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(DP,\s\up6(→))的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz(图略),
则D(0,0,0),E(1,a,0),C(0,2,0),P(0,0,1),
则eq \(PE,\s\up6(→))=(1,a,-1),eq \(PC,\s\up6(→))=(0,2,-1),
设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m⊥\(PE,\s\up6(→)),,m⊥\(PC,\s\up6(→)),))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+ay-z=0,,2y-z=0,))
令y=1,可得x=2-a,z=2,则m=(2-a,1,2),
易知平面DEC的一个法向量为eq \(DP,\s\up6(→))=(0,0,1),
则|cs〈m,eq \(DP,\s\up6(→))〉|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(?2-a?2+5))))=eq \f(\r(2),2),
解得a=2-eq \r(3)或a=2+eq \r(3)(舍去),所以AE=2-eq \r(3).
这时,平面PEC的法向量可以取m=(eq \r(3),1,2),
又∵eq \(DP,\s\up6(→))=(0,0,1).
∴点D到平面PEC的距离为d=eq \f(|\(DP,\s\up6(→))·m|,|m|)=eq \f(2,2\r(2)×1)=eq \f(\r(2),2).
16.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B两点),使得点A1到平面AED的距离为eq \f(2\r(6),3).
解 假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),eq \(AA1,\s\up6(→))=(0,0,2),
eq \(BA1,\s\up6(→))=(2,-2,2).
设eq \(BE,\s\up6(→))=λeq \(BA1,\s\up6(→)),λ∈(0,1),
则E(2λ,2(1-λ),2λ),
eq \(AD,\s\up6(→))=(-2,0,1),
eq \(AE,\s\up6(→))=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),
设n=(x,y,z)为平面AED的一个法向量,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD,\s\up6(→))=0,,n·\(AE,\s\up6(→))=0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2x+z=0,,2?λ-1?x+2?1-λ?y+2λz=0,))
取x=1,则y=eq \f(1-3λ,1-λ),z=2,
即n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(1-3λ,1-λ),2))为平面AED的一个法向量.
由于点A1到平面AED的距离d=eq \f(|\(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq \f(2\r(6),3),
所以eq \f(2\r(6),3)=eq \f(4,\r(5+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-3λ,1-λ)))2)),
又λ∈(0,1),所以λ=eq \f(1,2).
故存在点E,且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为eq \f(2\r(6),3).
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