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2021届江西省九江市高考数学一模试卷(文科) (解析版)
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2021届江西省九江市高考数学一模试卷(文科) (解析版)

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这是一份2021届江西省九江市高考数学一模试卷(文科) (解析版),共17页。试卷主要包含了选择题.,填空题等内容,欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|﹣2≤x≤2},则A∩B=( )
A.(﹣1,3)B.[﹣2,2]C.(﹣1,2]D.[﹣2,3)
2.已知复数z满足z?(1+i)=2,则|z|=( )
A.1B.C.2D.3
3.已知数列{an}为等差数列,且满足a2+a5+a8=24,则数列{an}的前9项和为( )
A.96B.48C.56D.72
4.如图八面体中,有公共边的两个面称为相邻的面,若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面,这两个面相邻的概率为( )
A.B.C.D.
5.已知函数f(x)=x2lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.x+y﹣1=0B.x﹣y﹣1=0C.x﹣y+1=0D.x+y+1=0
6.公元前3世纪,古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和,并得到公式12+22+32+…+n2=,执行如图所示的程序.或输出的结果为7,则判断框中的实数k的取值范围是( )
A.[91,140)B.(91,140]C.[140,204)D.(140,204]
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交点为M,A为抛物线C上一点,若∠MFA=120°,则|AF|=( )
A.2B.C.4D.
8.已知a=lg0.20.3,b=lg0.30.2,c=lg23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.π
10.已知双曲线E:x2﹣y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为双曲线E上一点,若∠F1PF2≥90°,则x02的取值范围是( )
A.B.C.D.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+2n,则下列说法正确的是( )
A.数列{an+1﹣an}为等差数列
B.数列{an+1﹣an}为等比数列
C.数列{an+2﹣an}为等差数列
D.数列{an+2﹣an}为等比数列
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+b(ω>0,0<φ<π)有三个相邻的零点,则实数b的值为( )
A.﹣1B.C.D.1
二,填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上.
13.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 .
14.已知非零向量,的夹角为60°,||=3,⊥(2﹣),则||= .
15.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续单调函数,若f[f(x)﹣lnx]﹣1=0,则不等式f(x)≥2的解集为 .
16.如图,一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1,高为2,铁桶的最大张角为60°,往铁桶内塞入一个木球,则该木球的最大体积为 .
三,本卷包括必考题和选考题两部分.第17题~第21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本,并测量它们的长度l(单位:mm),将样本数据分为[28,30),[30,32),[32,34),[34,36),[36,38),[38,40]六组,并整理得到频率分面直方图如图.
(Ⅰ)求a的值及样本产品长度的平均值;
(Ⅱ)当l∈[31,39]时为合格品,其余为废品.每件合格品可获得利润20元,每件废品则亏损材料费15元,且生产出的合格品全部销售完,若以样本估计总体,求该公司获得的利润.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
18.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知(b+c)csA=bsinA﹣acsC.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
19.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠A=60°,E为AB的中点,将△ADE沿着DE折起,使平面ADE⊥平面BEDC.
(Ⅰ)在线段AC上是否存在一点M,使得BM∥平面ADE,请说明理由;
(Ⅱ)求E到平面ABC的距离.
20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,右焦点F,|AF|=3,过F的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△AMN面积是△BMN面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线AM,AN与直线x=4分别交于P,Q两点,求证:PF⊥QF.
21.已知函数f(x)=x2﹣csx(x>0).
(Ⅰ)求证:f(x)有唯一零点x0,且x0∈(0,1);
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的x0,当x∈(x0,2)时,ex﹣af(x)≥0,求实数a的取值范围.
请考生在第22,23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在直角坐标系xOy中,已知曲线E的参数方程为(t为参数),过原点的直线l1,l2相互垂直,且l1的倾斜角为α,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1与曲线E的极坐标方程;
(Ⅱ)若l1,l2与曲线E分别相交于A,B两点和C,D两点,求的值.
23.已知函数f(x)=a|x|﹣|x﹣1|(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤1恒成立,求a的取值范围.
参考答案
一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|﹣2≤x≤2},则A∩B=( )
A.(﹣1,3)B.[﹣2,2]C.(﹣1,2]D.[﹣2,3)
解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|﹣2≤x≤2},
∴A∩B={x|﹣1<x≤2}=(﹣1,2].
故选:C.
2.已知复数z满足z?(1+i)=2,则|z|=( )
A.1B.C.2D.3
解:z==1﹣i,
故|z|=,
故选:B.
3.已知数列{an}为等差数列,且满足a2+a5+a8=24,则数列{an}的前9项和为( )
A.96B.48C.56D.72
解:∵数列{an}为等差数列,
∴a2+a5+as=3a5=24,则a5=8,
∴.
故选:D.
4.如图八面体中,有公共边的两个面称为相邻的面,若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面,这两个面相邻的概率为( )
A.B.C.D.
解:从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面,共有4×4=16种取法,
其中两个面相邻的取法有4种,
故所求概率为.
故选:A.
5.已知函数f(x)=x2lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.x+y﹣1=0B.x﹣y﹣1=0C.x﹣y+1=0D.x+y+1=0
解:f(x)=x2lnx的导数为f′(x)=2xlnx+x,
可得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=2ln1+1=1,
且f(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x﹣1,即x﹣y﹣1=0.
故选:B.
6.公元前3世纪,古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和,并得到公式12+22+32+…+n2=,执行如图所示的程序.或输出的结果为7,则判断框中的实数k的取值范围是( )
A.[91,140)B.(91,140]C.[140,204)D.(140,204]
解:依题意得,解得91<k≤140,
可得判断框中的实数k的取值范围是(91,140].
故选:B.
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交点为M,A为抛物线C上一点,若∠MFA=120°,则|AF|=( )
A.2B.C.4D.
解:如图,过点A作准线的垂线,垂足为A',
当∠MFA=120°时,∠FAA'=60°,
又|AF|=|AA'|,∴△AFA'为等边三角形,
所以∠A′FM=60°,
在直角三角形MFA′中,|A′F|==4,
则|AF|=4,
故选:C.
8.已知a=lg0.20.3,b=lg0.30.2,c=lg23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b
解:∵0<a=lg0.20.3<1,b=lg0.30.2>1,c=lg23>1,
又,
∴b<c,即a<b<c.
故选:A.
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.π
解:根据三视图知,该几何体是圆柱体,斜截去一半,
画出该几何体的直观图,如图所示:
计算该几何体的体积为:
V=×π×12×1=.
故选:C.
10.已知双曲线E:x2﹣y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为双曲线E上一点,若∠F1PF2≥90°,则x02的取值范围是( )
A.B.C.D.
解:双曲线E:x2﹣y2=1的a=b=1,c=,
可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,
要使得∠F1PF2≥90°,
则点P在以F1F2为直径的圆上或圆内,
∴,
又,∴,
∴,
故选:C.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+2n,则下列说法正确的是( )
A.数列{an+1﹣an}为等差数列
B.数列{an+1﹣an}为等比数列
C.数列{an+2﹣an}为等差数列
D.数列{an+2﹣an}为等比数列
解:∵①,
∴②,
②﹣①得③,
则④,
④﹣③得,因此数列{an+2﹣an}为等比数列.
故选:D.
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+b(ω>0,0<φ<π)有三个相邻的零点,则实数b的值为( )
A.﹣1B.C.D.1
解:依题意得,
∴,
又x=×(+)=为函数的一条对称轴,
可得,解得,
∵0<φ<π,
∴,
∴,
∴b=﹣1.
故选:A.
二,填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上.
13.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 .
解:如图所示,作出可行域,
联立,解得A(,),
作出直线2x+y=0,当直线2x+y=0平移到点时,
z=2x+y取得最大值.
故答案为:.
14.已知非零向量,的夹角为60°,||=3,⊥(2﹣),则||= .
解:由得

=.
故.
故答案为:.
15.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续单调函数,若f[f(x)﹣lnx]﹣1=0,则不等式f(x)≥2的解集为 [e,+∞) .
解:∵f(x)是定义在(0,+∞)上的连续单调函数,
∴存在唯一t,使得f(t)=1,故令f(x)﹣lnx=t,f(x)=lnx+t,
∴f(t)=lnt+t=1,令g(t)=lnt+t﹣1(t>0),
则g′(t)=+1>0,故g(t)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,
令g(t)=0,∴t=1,∴f(x)=lnx+1,∵f(x)≥2,∴lnx≥1,x≥e,
故f(x)≥2的解集为:[e,+∞),
故答案为:[e,+∞).
16.如图,一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1,高为2,铁桶的最大张角为60°,往铁桶内塞入一个木球,则该木球的最大体积为 .
解:如图,点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径,
AB=2,∠O1AB=60°,
∴,则,即最大球的半径为,
∴该木球的最大体积为V=.
故答案为:.
三,本卷包括必考题和选考题两部分.第17题~第21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本,并测量它们的长度l(单位:mm),将样本数据分为[28,30),[30,32),[32,34),[34,36),[36,38),[38,40]六组,并整理得到频率分面直方图如图.
(Ⅰ)求a的值及样本产品长度的平均值;
(Ⅱ)当l∈[31,39]时为合格品,其余为废品.每件合格品可获得利润20元,每件废品则亏损材料费15元,且生产出的合格品全部销售完,若以样本估计总体,求该公司获得的利润.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
解:(I)∵(0.05×3+0.1×2+a)×2=1,∴a=0.15,
样本产品长度的平均值为:

(II)依题意得,从样本中随机抽取一件产品,其为合格品的概率为:
,
其为废品的概率为1﹣0.8=0.2,
故该公司获得的利润为10000×(0.8×20﹣0.2×15)=130000元.
18.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知(b+c)csA=bsinA﹣acsC.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
解:(Ⅰ)由正弦定理的(sinB+sinC)csA=sinBsinA﹣sinAcsC,
所以sinBcsA+sinCcsA+csCsinA=sinBsinA,
即sinBcsA+sin(A+C)=sinBsinA,
因为sin(A+C)=sinB,
所以sinBcsA+sinB=sinBsinA,
因为sinB>0,所以csA+1=sinA,
所以sin(A﹣)=,
因为A﹣∈(﹣,),
所以A﹣=,所以A=.
(Ⅱ)====+,
因为△ABC为锐角三角形,所以0,B=﹣C<,
所以<C<,所以tanC>,
所以<+<2,即的取值范围是(,2).
19.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠A=60°,E为AB的中点,将△ADE沿着DE折起,使平面ADE⊥平面BEDC.
(Ⅰ)在线段AC上是否存在一点M,使得BM∥平面ADE,请说明理由;
(Ⅱ)求E到平面ABC的距离.
解:(I)当点M位于AC的中点时,BM∥平面ADE,
设N为AD的中点,连接MN,NE,MB,∵M,N分别为AC,AD的中点,∴,
依题意易知,∴,∴MNEB为平行四边形,
∴BM∥EN,
又∵BM?平面ADE,EN?平面ADE,
∴BM∥平面ADE.
(II)∵AD=AB=2,∠A=60°,∴△ADB为正三角形,
又E为AB的中点,∴DE⊥AB,即AE⊥DE,
又平面ADE⊥平面BEDC,∴AE⊥平面BEDC,
设E到平面ABC的距离为d,
三棱锥E﹣ABC的体积,
即,,
∴,∴,
∴,
S△EBC=×1×=,AE=1,
由得,,即.
20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,右焦点F,|AF|=3,过F的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△AMN面积是△BMN面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线AM,AN与直线x=4分别交于P,Q两点,求证:PF⊥QF.
解:(Ⅰ)∵|AF|=3,∴a+c=3,
又△AMN面积是△BMN面积的3倍,∴a+c=3(a﹣c),
解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,
故椭圆C的标准方程为;
证明:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A(﹣2,0),F(1,0),
设l:x=ty+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程组,消去x整理得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0.
∴,
直线AM的方程为,令x=4,得,
同理,
∴,

==.
∴PF⊥QF.
21.已知函数f(x)=x2﹣csx(x>0).
(Ⅰ)求证:f(x)有唯一零点x0,且x0∈(0,1);
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的x0,当x∈(x0,2)时,ex﹣af(x)≥0,求实数a的取值范围.
【解答】(I)证明:函数f(x)=x2﹣csx(x>0),则f'(x)=2x+sinx,
又f''(x)=2+csx>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f'(x)>f'(0)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(0)=﹣1<0,f(1)=1﹣cs1>0,
所以f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0∈(0,1);
(II)解:由(I)知,x∈(x0,2)时,f(x)>f(x0)=0,
所以x2﹣csx>0,即问题等价于在x∈(x0,2)恒成立,
令,
令,
当x∈(x0,2)时,x(x﹣2)<0,,
所以h(x)<0,即g'(x)<0,
故g(x)在(x0,2)上单调递减,
所以当x∈(x0,2)时,,
所以,
故实数a的取值范围是.
请考生在第22,23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在直角坐标系xOy中,已知曲线E的参数方程为(t为参数),过原点的直线l1,l2相互垂直,且l1的倾斜角为α,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1与曲线E的极坐标方程;
(Ⅱ)若l1,l2与曲线E分别相交于A,B两点和C,D两点,求的值.
解:(I)过原点的直线l1,l2相互垂直,且l1的倾斜角为α,直线l1的极坐标方程为θ=α;
曲线E的参数方程为(t为参数),由,
消去参数t得y2=4(x+1)(x≠﹣1).
根据得ρ2sin2θ=4(ρcsθ+1),
即曲线E的极坐标方程为ρ2sin2θ﹣4ρcsθ﹣4=0(θ∈(0,π)∪(π,2π)).
(II)将θ=α代入ρ2sin2θ﹣4ρcsθ﹣4=0中,得ρ2sin2α﹣4ρcsα﹣4=0,
设A,B两点所对应的极径分别是ρ1,ρ2,
则,
∴,
∵l1⊥l2,
∴,
∴.
23.已知函数f(x)=a|x|﹣|x﹣1|(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤1恒成立,求a的取值范围.
解:(I)当a=2时,f(x)=2|x|﹣|x﹣1|=,
因为f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以当x=0时,f(x)取最小值为﹣1;
(II)当x=0时,f(x)=﹣1≤1恒成立,满足题意,a∈R,
当x≠0时,不等式可化为a|x|﹣|x﹣1|≤1,等价于a≤||+|1﹣|恒成立,
而||+|1﹣|≥|+1﹣|=1,
所以a≤1,
即a的取值范围是(﹣∞,1].
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